Semestre 1 :
Analyse, Algèbre & Géométrie
Logique mathématique
Le chapitre fondateur de l'année. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices du plus simple (★) au plus difficile (★★★).
1.1Les propositions (assertions)
Une proposition est un énoncé soit vrai (V), soit faux (F), jamais les deux. Cette valeur est sa valeur de vérité. Test : « puis-je trancher vrai/faux sans ambiguïté ? »
« \(2+3=5\) » est vraie ; « \(7\) est pair » est fausse. « \(x+1=3\) » n'est pas une proposition (dépend de \(x\)) : c'est un prédicat \(P(x)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
« \(3+4=7\) » est-elle une proposition ? Quelle est sa valeur ?
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Oui, proposition vraie.
Exercice 2 · ★
Donne la valeur de : « 9 est un nombre pair ».
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Fausse (9 est impair).
Exercice 3 · ★★
Parmi (a) « \(x+2=5\) » ; (b) « 12 est divisible par 4 » ; (c) « Quelle heure est-il ? » ; (d) « 0 est pair » — lesquelles sont des propositions ?
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(b) proposition vraie ; (d) proposition vraie ; (a) prédicat (dépend de \(x\)) ; (c) question.
Exercice 4 · ★★
Donne la valeur de : « \(\sqrt{16}=4\) », « 5 est premier », « 8 est un carré parfait ».
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V, V, F (8 n'est pas un carré parfait).
Exercice 5 · ★★★
Soit le prédicat \(P(x)\) : « \(x^2=9\) ». Pour quels \(x\) est-il vrai ? Pourquoi n'est-ce pas une proposition ?
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Vrai pour \(x=3\) ou \(x=-3\). Tant que \(x\) n'est pas fixé, la valeur change : ce n'est donc pas une proposition mais un prédicat (il le devient une fois \(x\) fixé ou quantifié).
Exercice 6 · ★★★
« La somme de deux entiers impairs est paire » est-elle une proposition ? Quelle est sa valeur ? Justifie.
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Proposition vraie : si \(a=2k+1\) et \(b=2k'+1\), alors \(a+b=2(k+k'+1)\), un nombre pair.
1.2Les opérations logiques
\(\neg P\) inverse ; \(P\wedge Q\) (« et ») vraie si les deux ; \(P\vee Q\) (« ou » inclusif) vraie si au moins une ; \(P\Rightarrow Q\) fausse seulement si \(P\) vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Leftrightarrow Q\) vraie si même valeur.
\(P\) : « \(4>0\) » (V), \(Q\) : « 4 impair » (F). Alors \(P\wedge Q=\)F, \(P\vee Q=\)V, \(P\Rightarrow Q=\)F.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(P\) : « \(5>2\) » (V), \(Q\) : « \(2>5\) » (F). Donne \(P\wedge Q\).
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\(V\wedge F=\) F.
Exercice 2 · ★
Mêmes \(P,Q\) : donne \(P\vee Q\) et \(\neg Q\).
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\(P\vee Q=\) V ; \(\neg Q=\) « \(2\le5\) » = V.
Exercice 3 · ★★
\(P\) vraie, \(Q\) fausse. Donne \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\).
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\(P\Rightarrow Q=V\Rightarrow F=\) F ; \(Q\Rightarrow P=F\Rightarrow V=\) V.
Exercice 4 · ★★
Donne la valeur de « si \(2+2=5\) alors \(3>1\) ».
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Hypothèse fausse → l'implication est vraie.
Exercice 5 · ★★★
Construis la table de vérité de \((P\wedge Q)\Rightarrow P\). Conclusion ?
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Les 4 lignes donnent V : c'est une tautologie (toujours vraie).
Exercice 6 · ★★★
Montre par table de vérité que \(P\Rightarrow Q\) équivaut à \((\neg P)\vee Q\).
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Les deux colonnes valent (V,F,V,V) selon les cas (VV,VF,FV,FF). Elles coïncident, donc \(P\Rightarrow Q\Leftrightarrow(\neg P)\vee Q\).
1.3Les lois logiques
De Morgan : \(\neg(P\wedge Q)\Leftrightarrow\neg P\vee\neg Q\), \(\neg(P\vee Q)\Leftrightarrow\neg P\wedge\neg Q\). Contraposée de \(P\Rightarrow Q\) : \(\neg Q\Rightarrow\neg P\) (même valeur). Réciproque : \(Q\Rightarrow P\). Négation de \(\Rightarrow\) : \(P\wedge\neg Q\).
« si \(x=2\) alors \(x^2=4\) » : réciproque « si \(x^2=4\) alors \(x=2\) » fausse (\(x=-2\)) ; contraposée « si \(x^2\ne4\) alors \(x\ne2\) » vraie.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Écris la négation de « \(x\ge3\) ».
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« \(x<3\) ».
Exercice 2 · ★
Écris la négation de « \(x=5\) » et de « \(x\le0\) ».
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« \(x\ne5\) » et « \(x>0\) ».
Exercice 3 · ★★
Négation de « \(x>0\) et \(x<3\) ».
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De Morgan : « \(x\le0\) ou \(x\ge3\) ».
Exercice 4 · ★★
Négation de « \(x\le1\) ou \(x\ge4\) ».
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« \(x>1\) et \(x<4\) », c.-à-d. \(1
Exercice 5 · ★★★
Donne contraposée et réciproque de « si \(x>3\) alors \(x>1\) », et la valeur de chacune.
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Contraposée « si \(x\le1\) alors \(x\le3\) » : vraie. Réciproque « si \(x>1\) alors \(x>3\) » : fausse (\(x=2\)).
Exercice 6 · ★★★
Écris la négation de l'implication « si \(n\) est pair alors \(n^2\) est pair ».
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\(\neg(P\Rightarrow Q)=P\wedge\neg Q\) : « \(n\) est pair et \(n^2\) est impair ».
1.4Les quantificateurs
\(\forall\) « pour tout » ; \(\exists\) « il existe ». Négation : on échange \(\forall\leftrightarrow\exists\) et on nie : \(\neg(\forall x,P(x))\Leftrightarrow\exists x,\neg P(x)\). L'ordre des quantificateurs compte.
« \(\forall x\in\mathbb R,\ x^2\ge0\) » est vraie ; sa négation « \(\exists x,\ x^2<0\) » est fausse.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Vrai ou faux : « \(\forall x\in\mathbb R,\ x^2\ge0\) » ?
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Vrai.
Exercice 2 · ★
Vrai ou faux : « \(\exists x\in\mathbb R,\ x+1=0\) » ?
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Vrai (\(x=-1\)).
Exercice 3 · ★★
Écris la négation de « \(\forall x\in\mathbb R,\ x>0\) » et donne la valeur de l'énoncé de départ.
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Négation : « \(\exists x\in\mathbb R,\ x\le0\) ». L'énoncé de départ est faux.
Exercice 4 · ★★
Écris la négation de « \(\exists n\in\mathbb N,\ n^2=5\) ». Cet énoncé est-il vrai ?
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Négation : « \(\forall n\in\mathbb N,\ n^2\ne5\) ». L'énoncé de départ est faux (aucun entier n'a 5 pour carré).
Exercice 5 · ★★★
Écris la négation de « \(\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ x+y=0\) ».
Voir la correction
« \(\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ x+y\ne0\) ».
Exercice 6 · ★★★
Vrai ou faux, en justifiant : « \(\exists M\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb N,\ n\le M\) ».
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Faux : \(\mathbb N\) n'est pas majoré, aucun réel \(M\) ne dépasse tous les entiers.
1.5Les types de raisonnement
Déduction directe, contraposée, absurde (conclusion fausse → contradiction), contre-exemple, disjonction de cas, et récurrence (initialisation + hérédité + conclusion).
Pour réfuter « tout nombre premier est impair » : un seul contre-exemple suffit, \(2\) (premier et pair).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quel type de raisonnement réfute « tous les nombres premiers sont impairs » ?
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Le contre-exemple : 2 est premier et pair.
Exercice 2 · ★
Donne un contre-exemple à « \(\forall x\in\mathbb R,\ x^2>x\) ».
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\(x=0{,}5\) : \(0{,}25<0{,}5\). (Ou \(x=0\), \(x=1\).)
Exercice 3 · ★★
Par disjonction de cas, montre que \(n(n+1)\) est toujours pair (\(n\in\mathbb N\)).
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Si \(n\) pair, \(n(n+1)\) est pair. Si \(n\) impair, alors \(n+1\) est pair, donc le produit est pair. Dans tous les cas, pair.
Exercice 4 · ★★
Par contraposée, montre : « si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair ».
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Contraposée : « si \(n\) est impair alors \(n^2\) est impair ». Si \(n=2k+1\), \(n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\) impair. La contraposée est vraie, donc l'implication aussi.
Exercice 5 · ★★★
Démontre par récurrence : \(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) pour \(n\ge1\).
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Init. \(n=1\) : \(1=\frac{1\cdot2}{2}\). Hérédité : \(\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)\frac{n+2}{2}\), formule au rang \(n+1\). Vraie pour tout \(n\ge1\).
Exercice 6 · ★★★
Démontre par l'absurde que \(\sqrt2\) est irrationnel.
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Supposons \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible. Alors \(p^2=2q^2\) → \(p\) pair, \(p=2k\) → \(q^2=2k^2\) → \(q\) pair. \(p\) et \(q\) pairs contredit l'irréductibilité. Donc \(\sqrt2\) est irrationnel.
Ensembles et applications
Le vocabulaire de base des maths. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
2.1Ensembles, appartenance, inclusion
\(x\in E\) (appartenance) ; \(E\subset F\Leftrightarrow(\forall x,\ x\in E\Rightarrow x\in F)\) ; \(E=F\) par double inclusion. \(\mathcal P(E)\) = parties de \(E\) (\(2^n\) si \(|E|=n\)).
\(E=\{a,b\}\) : \(a\in E\), \(\{a\}\subset E\), \(\mathcal P(E)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Vrai ou faux : \(3\in\{1,2,3\}\) et \(\{3\}\in\{1,2,3\}\) ?
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\(3\in\{1,2,3\}\) : vrai. \(\{3\}\in\{1,2,3\}\) : faux (\(\{3\}\) est un ensemble, pas un élément de la liste).
Exercice 2 · ★
Combien de parties a \(E=\{1,2,3\}\) ? Liste-les.
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\(2^3=8\) : \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\).
Exercice 3 · ★★
A-t-on \(\{1,2\}\subset\{1,2,3,4\}\) ? Et \(\{1,5\}\subset\{1,2,3,4\}\) ?
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Oui pour le premier. Non pour le second (\(5\notin\{1,2,3,4\}\)).
Exercice 4 · ★★
Combien de parties a un ensemble à 5 éléments ? À \(n\) éléments ?
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\(2^5=32\) ; en général \(2^n\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que pour tout ensemble \(E\), on a \(\varnothing\subset E\).
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\(\varnothing\subset E\) signifie \(\forall x,\ (x\in\varnothing\Rightarrow x\in E)\). L'hypothèse \(x\in\varnothing\) est toujours fausse, donc l'implication est toujours vraie. Ainsi \(\varnothing\subset E\).
Exercice 6 · ★★★
Donne \(\mathcal P(\mathcal P(\varnothing))\).
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\(\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}\) (1 élément). Donc \(\mathcal P(\{\varnothing\})=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\) (2 éléments).
2.2Opérations sur les ensembles
\(E\cap F\) (et), \(E\cup F\) (ou), \(E\setminus F\), \(\complement_E A\), \(E\times F=\{(x,y)\}\). De Morgan : \(\complement_E(A\cap B)=\complement_E A\cup\complement_E B\).
\(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5,6\}\) : \(A\cap B=\{3,4\}\), \(A\cup B=\{1,\dots,6\}\), \(A\setminus B=\{1,2\}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(A=\{0,2,4\}\), \(B=\{0,1,2\}\). Donne \(A\cap B\).
Voir la correction
\(\{0,2\}\).
Exercice 2 · ★
Mêmes \(A,B\). Donne \(A\cup B\) et \(A\setminus B\).
Voir la correction
\(A\cup B=\{0,1,2,4\}\) ; \(A\setminus B=\{4\}\).
Exercice 3 · ★★
\(E=\{1,2,3,4,5\}\), \(A=\{2,4\}\). Donne \(\complement_E A\).
Voir la correction
\(\complement_E A=\{1,3,5\}\).
Exercice 4 · ★★
\(A=\{a,b\}\), \(B=\{1,2\}\). Donne \(A\times B\).
Voir la correction
\(\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}\) (4 couples).
Exercice 5 · ★★★
Avec \(A=[0,3]\) et \(B=[2,5]\) (intervalles), donne \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\setminus B\).
Voir la correction
\(A\cap B=[2,3]\) ; \(A\cup B=[0,5]\) ; \(A\setminus B=[0,2[\).
Exercice 6 · ★★★
Démontre \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).
Voir la correction
\(x\in A\setminus(B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\) et \(x\notin B\) et \(x\notin C\) (De Morgan) \(\Leftrightarrow(x\in A\setminus B)\) et \((x\in A\setminus C)\Leftrightarrow x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).
2.3Applications : définition
\(f:E\to F\) associe à chaque \(x\in E\) un unique \(f(x)\in F\).
\(x\mapsto x^2\) est une application (tout réel a un carré unique) ; « un nombre dont le carré vaut \(x\) » n'en est pas une (deux choix, ou aucun).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=2x+1\). Calcule \(f(0)\) et \(f(3)\).
Voir la correction
\(f(0)=1\), \(f(3)=7\).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=x^2-1\). Calcule \(f(-2)\) et \(f(2)\).
Voir la correction
\(f(-2)=3\), \(f(2)=3\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=3x-5\). Résous \(f(x)=1\).
Voir la correction
\(3x-5=1\Rightarrow x=2\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=x^2\). Quels \(x\) vérifient \(f(x)=9\) ?
Voir la correction
\(x^2=9\Rightarrow x=3\) ou \(x=-3\).
Exercice 5 · ★★★
Pourquoi « associer à \(x\) une racine carrée de \(x\) » n'est-il pas une application sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
Pour \(x<0\) aucune valeur réelle (pas d'image), et pour \(x>0\) deux valeurs \(\pm\sqrt x\) (pas unique). Les deux conditions « chaque » et « unique » échouent.
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{1}{x-1}\). Donne son ensemble de définition, puis \(f(2)\) et \(f(0)\).
Voir la correction
\(D_f=\mathbb R\setminus\{1\}\). \(f(2)=1\), \(f(0)=-1\).
2.4Injection, surjection, bijection
Injective : \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\). Surjective : tout \(y\) atteint. Bijective : les deux.
\(x\mapsto x^2\) sur \(\mathbb R\) : ni injective (\(g(-2)=g(2)\)) ni surjective (\(-1\) non atteint). \(x\mapsto3x-2\) : bijective.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x+7\) sur \(\mathbb R\). Est-elle injective ?
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Oui : \(a+7=b+7\Rightarrow a=b\).
Exercice 2 · ★
\(g(x)=x^2\) sur \(\mathbb R\). Donne un exemple montrant qu'elle n'est pas injective.
Voir la correction
\(g(-3)=g(3)=9\) avec \(-3\ne3\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=5x+1\) sur \(\mathbb R\). Montre qu'elle est bijective.
Voir la correction
Injective : \(5a+1=5b+1\Rightarrow a=b\). Surjective : \(f(x)=y\Leftrightarrow x=\frac{y-1}{5}\) existe. Donc bijective.
Exercice 4 · ★★
\(g(x)=x^2\) est-elle surjective sur \(\mathbb R\) ? Et de \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\) ?
Voir la correction
Non sur \(\mathbb R\) (\(-1\) non atteint). De \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\) : oui, et même bijective.
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=2x-3\) bijective. Détermine \(f^{-1}\).
Voir la correction
\(y=2x-3\Leftrightarrow x=\frac{y+3}{2}\), donc \(f^{-1}(y)=\frac{y+3}{2}\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{x}{x+1}\) de \(]-1,+\infty[\) vers \(\mathbb R\). Est-elle injective ? (Étudie \(f(a)=f(b)\).)
Voir la correction
\(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\Rightarrow a(b+1)=b(a+1)\Rightarrow a=b\). Donc injective.
2.5Composition et réciproque
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Si \(f\) bijective, \(y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\).
\(f(x)=2x+1\), \(g(x)=x^2\) : \((g\circ f)(x)=(2x+1)^2\), \((f\circ g)(x)=2x^2+1\). Différentes.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x+2\), \(g(x)=3x\). Calcule \((g\circ f)(1)\).
Voir la correction
\(f(1)=3\), \(g(3)=9\). Donc \((g\circ f)(1)=9\).
Exercice 2 · ★
Mêmes fonctions. Calcule \((f\circ g)(1)\).
Voir la correction
\(g(1)=3\), \(f(3)=5\). Donc \((f\circ g)(1)=5\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x-3\), \(g(x)=x^2+1\). Donne \((g\circ f)(x)\).
Voir la correction
\((g\circ f)(x)=(x-3)^2+1\).
Exercice 4 · ★★
Mêmes fonctions. Donne \((f\circ g)(x)\) et compare à \((g\circ f)(x)\).
Voir la correction
\((f\circ g)(x)=x^2+1-3=x^2-2\). Différent : la composition n'est pas commutative.
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=2x+1\). Calcule \((f^{-1}\circ f)(x)\).
Voir la correction
\(f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}\), donc \((f^{-1}\circ f)(x)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x\) (l'identité, comme attendu).
Exercice 6 · ★★★
\(h(x)=(3x-2)^2\). Écris \(h\) comme \(g\circ f\) avec \(f\) et \(g\) simples.
Voir la correction
\(f(x)=3x-2\) et \(g(x)=x^2\), alors \(h=g\circ f\).
2.6Image directe et image réciproque
\(f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\) ; \(f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}\) (sens même sans bijectivité).
\(f(x)=x^2\) : \(f([0,2])=[0,4]\) ; \(f^{-1}(\{9\})=\{-3,3\}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x+1\). Donne \(f(\{0,1,2\})\).
Voir la correction
\(\{1,2,3\}\).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=2x\). Donne \(f^{-1}(\{6\})\).
Voir la correction
\(2x=6\Rightarrow x=3\), donc \(f^{-1}(\{6\})=\{3\}\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^2\). Donne \(f(\{-1,0,2\})\).
Voir la correction
\(\{1,0,4\}=\{0,1,4\}\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=x^2\). Donne \(f^{-1}(\{4\})\).
Voir la correction
\(x^2=4\Rightarrow\{-2,2\}\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=x^2\). Détermine \(f^{-1}([1,4])\).
Voir la correction
\(1\le x^2\le4\Leftrightarrow1\le|x|\le2\), donc \([-2,-1]\cup[1,2]\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=x^2\). Détermine \(f^{-1}(\,]-\infty,0[\,)\).
Voir la correction
\(x^2<0\) n'a aucune solution réelle, donc \(f^{-1}(\,]-\infty,0[\,)=\varnothing\).
Généralités sur les fonctions numériques
Domaine, symétries, variations, extremums. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
3.1Ensemble de définition
\(D_f\) = ensemble des \(x\) où \(f(x)\) existe. Dénominateur \(\ne0\) ; sous une racine \(\ge0\) ; on intersecte les conditions.
\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}\) : \(x\ge1\) et \(x\ne3\) → \(D_f=[1,3[\cup\,]3,+\infty[\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=\frac{1}{x}\). Donne \(D_f\).
Voir la correction
\(D_f=\mathbb R\setminus\{0\}\).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=\sqrt{x}\). Donne \(D_f\).
Voir la correction
\(x\ge0\), donc \(D_f=[0,+\infty[\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}\). Donne \(D_f\).
Voir la correction
\(x^2-4\ne0\Rightarrow x\ne\pm2\), donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=\sqrt{4-x^2}\). Donne \(D_f\).
Voir la correction
\(4-x^2\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le2\), donc \(D_f=[-2,2]\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\). Donne \(D_f\).
Voir la correction
\(x+2\ge0\) et \(x\ne1\) : \(x\ge-2\) et \(x\ne1\), donc \(D_f=[-2,1[\cup\,]1,+\infty[\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\). Donne \(D_f\).
Voir la correction
\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge0\Leftrightarrow x\le1\) ou \(x\ge2\), donc \(D_f=\,]-\infty,1]\cup[2,+\infty[\).
3.2Égalité et comparaison
Pour comparer \(f\) et \(g\) sur \(I\), on étudie le signe de \(f-g\).
Sur \([0,1]\) : \(x^2-x=x(x-1)\le0\), donc \(x^2\le x\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Compare \(3\) et \(5\) : laquelle des fonctions constantes \(f=3\), \(g=5\) est au-dessus ?
Voir la correction
\(g=5>f=3\) partout : \(g\) est au-dessus.
Exercice 2 · ★
Calcule \(f-g\) pour \(f(x)=2x\) et \(g(x)=x\).
Voir la correction
\(f-g=x\). Positif si \(x>0\), négatif si \(x<0\).
Exercice 3 · ★★
Compare \(x^2\) et \(x\) sur \([1,+\infty[\).
Voir la correction
\(x^2-x=x(x-1)\ge0\) sur \([1,+\infty[\), donc \(x^2\ge x\).
Exercice 4 · ★★
Compare \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x-1\) (indice : \(f-g=(x-1)^2\)).
Voir la correction
\(f-g=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0\), donc \(x^2\ge2x-1\) partout (égalité en \(x=1\)).
Exercice 5 · ★★★
Compare \(\sqrt x\) et \(x\) sur \([0,1]\).
Voir la correction
Sur \([0,1]\), \(\sqrt x\ge x\) : en effet \(\sqrt x-x=\sqrt x(1-\sqrt x)\ge0\) car \(0\le\sqrt x\le1\).
Exercice 6 · ★★★
Compare \(\frac1x\) et \(1\) sur \(]0,+\infty[\) selon les valeurs de \(x\).
Voir la correction
\(\frac1x-1=\frac{1-x}{x}\). Sur \(]0,1[\) : positif (\(\frac1x>1\)). En \(x=1\) : égal. Sur \(]1,+\infty[\) : négatif (\(\frac1x<1\)).
3.3Parité (paire / impaire)
\(D_f\) symétrique : paire si \(f(-x)=f(x)\) ; impaire si \(f(-x)=-f(x)\).
\(\frac{x}{x^2+1}\) : \(f(-x)=-f(x)\) → impaire. \(x^2\), \(\cos x\) paires ; \(x^3\), \(\sin x\) impaires.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x^2\) est-elle paire ou impaire ?
Voir la correction
Paire : \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=x^3\) ?
Voir la correction
Impaire : \(f(-x)=-x^3=-f(x)\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^4-3x^2+1\) ?
Voir la correction
Paire : \(f(-x)=x^4-3x^2+1=f(x)\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=x+\frac1x\) (sur \(\mathbb R^*\)) ?
Voir la correction
Impaire : \(f(-x)=-x-\frac1x=-f(x)\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=x^2+x\) est-elle paire, impaire, ou ni l'un ni l'autre ?
Voir la correction
\(f(-x)=x^2-x\), différent de \(f(x)\) et de \(-f(x)\). Ni paire ni impaire.
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}\) ?
Voir la correction
\(f(-x)=\frac{-x^3}{x^2+1}=-f(x)\) : impaire.
3.4Périodicité
\(f\) périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\).
\(\sin\), \(\cos\) : période \(2\pi\) ; \(\tan\) : période \(\pi\) ; \(\cos(3x)\) : période \(\frac{2\pi}{3}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quelle est la période de \(\cos x\) ?
Voir la correction
\(2\pi\).
Exercice 2 · ★
Quelle est la période de \(\tan x\) ?
Voir la correction
\(\pi\).
Exercice 3 · ★★
Période de \(f(x)=\sin(2x)\) ?
Voir la correction
\(\frac{2\pi}{2}=\pi\).
Exercice 4 · ★★
Vérifie que \(\cos(x+2\pi)=\cos x\).
Voir la correction
Oui, par définition du cercle trigo : un tour complet ramène au même point, donc même cosinus.
Exercice 5 · ★★★
Période de \(f(x)=\cos\!\big(\frac x2\big)\) ?
Voir la correction
\(\frac{2\pi}{1/2}=4\pi\).
Exercice 6 · ★★★
Montre que \(f(x)=\sin x+\cos x\) est \(2\pi\)-périodique.
Voir la correction
\(f(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)+\cos(x+2\pi)=\sin x+\cos x=f(x)\). Donc \(2\pi\) est une période.
3.5Monotonie et extremums
Signe du taux de variation \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\) : positif → croissante, négatif → décroissante. Maximum \(M\) en \(x_0\) : \(f(x)\le M=f(x_0)\).
\(x^2\) sur \([0,+\infty[\) : taux \(=a+b>0\) → croissante ; minimum \(0\) en \(x=0\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=2x+1\) : croissante ou décroissante sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
Croissante (coefficient \(2>0\)).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=-3x+5\) ?
Voir la correction
Décroissante (coefficient \(-3<0\)).
Exercice 3 · ★★
Montre que \(x^2\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\) via le taux.
Voir la correction
Taux \(=a+b\). Pour \(a,b\le0\), \(a+b\le0\) → décroissante.
Exercice 4 · ★★
Donne l'extremum de \(f(x)=(x-2)^2+3\) et où il est atteint.
Voir la correction
Minimum \(3\) atteint en \(x=2\) (car \((x-2)^2\ge0\)).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(f(x)=\frac1x\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\).
Voir la correction
Taux \(=\frac{1/a-1/b}{a-b}=\frac{-1}{ab}<0\) pour \(a,b>0\) → strictement décroissante.
Exercice 6 · ★★★
Étudie le sens de variation de \(f(x)=\frac{2x-1}{x+1}\) sur \(]-1,+\infty[\).
Voir la correction
Taux \(=\frac{3}{(a+1)(b+1)}>0\) (dénominateur positif) → strictement croissante.
3.6Composée et sens de variation
\(g\circ f\) : même sens → croissante ; sens contraires → décroissante.
\(f\) décroissante et \(g\) croissante → \(g\circ f\) décroissante.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f\) croissante, \(g\) croissante. Sens de \(g\circ f\) ?
Voir la correction
Croissante (même sens).
Exercice 2 · ★
\(f\) décroissante, \(g\) décroissante. Sens de \(g\circ f\) ?
Voir la correction
Croissante (deux fois renversé = remis dans l'ordre).
Exercice 3 · ★★
\(f\) croissante, \(g(x)=-2x+1\). Sens de \(g\circ f\) ?
Voir la correction
\(g\) décroissante → sens contraires → \(g\circ f\) décroissante.
Exercice 4 · ★★
Sens de variation de \(h(x)=\sqrt{x+3}\) sur \([-3,+\infty[\) (composée de \(x\mapsto x+3\) puis \(\sqrt{\ }\)).
Voir la correction
\(x\mapsto x+3\) croissante, \(\sqrt{\ }\) croissante → même sens → \(h\) croissante.
Exercice 5 · ★★★
Sens de variation de \(h(x)=\frac{1}{x+1}\) sur \(]-1,+\infty[\) (composée \(x\mapsto x+1\) puis \(\frac1{\ }\)).
Voir la correction
\(x\mapsto x+1\) croissante, \(t\mapsto\frac1t\) décroissante sur \(]0,+\infty[\) → sens contraires → \(h\) décroissante.
Exercice 6 · ★★★
\(f\) croissante sur \(\mathbb R\), \(g(x)=-x\). Étudie \(f\circ g\) et \(g\circ f\).
Voir la correction
\(g\) décroissante. \(f\circ g\) : \(g\) déc. puis \(f\) cr. → sens contraires → décroissante. \(g\circ f\) : \(f\) cr. puis \(g\) déc. → décroissante aussi.
Le barycentre dans le plan
Un point d'équilibre pondéré. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
4.1Point pondéré et définition
\(G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\) (\(\alpha+\beta\ne0\)) vérifie \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\).
Si \(\alpha=\beta\), \(G\) est le milieu de \([AB]\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Que vaut \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1)\}\) ?
Voir la correction
Le milieu de \([AB]\).
Exercice 2 · ★
Pourquoi faut-il \(\alpha+\beta\ne0\) ?
Voir la correction
Sinon la relation \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\) n'a pas de solution unique (le « point d'équilibre » n'existe pas).
Exercice 3 · ★★
Vers quel point \(G\) est-il le plus proche dans \(\mathrm{bar}\{(A,3),(B,1)\}\) ?
Voir la correction
De \(A\) (poids plus grand). Précisément \(\overrightarrow{AG}=\frac14\overrightarrow{AB}\).
Exercice 4 · ★★
Écris la relation définissant \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,5)\}\).
Voir la correction
\(2\overrightarrow{GA}+5\overrightarrow{GB}=\vec0\).
Exercice 5 · ★★★
À partir de \(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\), exprime \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la correction
\(\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) (en décomposant \(\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\)).
Exercice 6 · ★★★
Pour \(\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}\), exprime \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est au tiers de \([AB]\) à partir de \(A\).
4.2Relation fondamentale
Pour tout \(M\) : \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}\).
\(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}\) avec \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3)\}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Réduis \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\).
Voir la correction
\(=2\overrightarrow{MI}\), \(I\) milieu de \([AB]\).
Exercice 2 · ★
Réduis \(\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}\).
Voir la correction
\(=5\overrightarrow{MG}\), \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,4)\}\).
Exercice 3 · ★★
Réduis \(3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\).
Voir la correction
\(=5\overrightarrow{MG}\), \(G=\mathrm{bar}\{(A,3),(B,2)\}\).
Exercice 4 · ★★
Réduis \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\). (Attention : \(\alpha+\beta=0\) !)
Voir la correction
\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\), un vecteur constant (indépendant de \(M\)) : pas de barycentre ici car \(1+(-1)=0\).
Exercice 5 · ★★★
Réduis \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}\).
Voir la correction
\(=10\overrightarrow{MG}\), \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3),(C,5)\}\) (somme \(=10\)).
Exercice 6 · ★★★
Montre que \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\) se réduit à \(2\overrightarrow{MG}\) et précise \(G\).
Voir la correction
Somme des poids \(=3-1=2\ne0\), donc \(G=\mathrm{bar}\{(A,3),(B,-1)\}\) et \(3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MG}\).
4.3Homogénéité
Multiplier tous les poids par \(k\ne0\) ne change pas \(G\).
\(\mathrm{bar}\{(A,\frac12),(B,\frac32)\}=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,3)\}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Simplifie \(\mathrm{bar}\{(A,2),(B,4)\}\).
Voir la correction
÷2 : \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,2)\}\).
Exercice 2 · ★
Simplifie \(\mathrm{bar}\{(A,0{,}5),(B,0{,}5)\}\).
Voir la correction
\(=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1)\}\) = milieu.
Exercice 3 · ★★
Simplifie \(\mathrm{bar}\{(A,0{,}4),(B,0{,}6)\}\).
Voir la correction
×10 : \(\mathrm{bar}\{(A,4),(B,6)\}\), puis ÷2 : \(\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3)\}\).
Exercice 4 · ★★
Simplifie \(\mathrm{bar}\{(A,-2),(B,-3)\}\).
Voir la correction
×(−1) : \(\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3)\}\) (les poids opposés donnent le même barycentre).
Exercice 5 · ★★★
\(\mathrm{bar}\{(A,\frac13),(B,\frac23)\}\) : simplifie et situe \(G\).
Voir la correction
×3 : \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,2)\}\). \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AB}\) : aux deux tiers de \([AB]\).
Exercice 6 · ★★★
Montre que \(\mathrm{bar}\{(A,6),(B,9),(C,3)\}=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3),(C,1)\}\).
Voir la correction
Les poids du premier sont ceux du second multipliés par 3. Par homogénéité, même barycentre.
4.4Associativité (barycentres partiels)
\(\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\), \(H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\).
Centre de gravité : on regroupe \(B,C\) en leur milieu \(I\), d'où \(G\) sur la médiane \((AI)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Le centre de gravité d'un triangle est le barycentre de quels points pondérés ?
Voir la correction
\(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\).
Exercice 2 · ★
Regroupe \(B,C\) dans \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\).
Voir la correction
\(=\mathrm{bar}\{(A,1),(I,2)\}\), \(I\) milieu de \([BC]\).
Exercice 3 · ★★
Dans \(\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\), regroupe \(B,C\).
Voir la correction
\(=\mathrm{bar}\{(A,2),(I,2)\}\), \(I\) milieu de \([BC]\) (poids \(1+1=2\)).
Exercice 4 · ★★
En déduire la position de \(G\) dans l'exercice 3.
Voir la correction
\(\mathrm{bar}\{(A,2),(I,2)\}\) = milieu de \([AI]\) : \(G\) est le milieu de \([AI]\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\) appartient à la droite \((AI)\).
Voir la correction
D'après ci-dessus \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(I,2)\}\), milieu de \([AI]\), donc sur \((AI)\).
Exercice 6 · ★★★
Pour \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,2),(C,3)\}\), regroupe \(A,B\) puis exprime \(G\).
Voir la correction
\(H=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,2)\}\) (poids 3), puis \(G=\mathrm{bar}\{(H,3),(C,3)\}\) = milieu de \([HC]\).
4.5Coordonnées du barycentre
\(x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\), \(y_G=\frac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}\).
\(A(2,1)\), \(B(8,7)\), \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,3)\}\) : \(G(6{,}5\,;5{,}5)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(A(0,0)\), \(B(6,2)\). Milieu de \([AB]\) ?
Voir la correction
\((3,1)\).
Exercice 2 · ★
\(A(0,0)\), \(B(4,8)\), \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1)\}\) ?
Voir la correction
\((2,4)\).
Exercice 3 · ★★
\(A(1,2)\), \(B(7,-4)\), \(\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}\) ?
Voir la correction
\(x_G=\frac{2+7}{3}=3\), \(y_G=\frac{4-4}{3}=0\) → \(G(3,0)\).
Exercice 4 · ★★
\(A(2,1)\), \(B(8,7)\), \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,3)\}\) ?
Voir la correction
\(x_G=\frac{2+24}{4}=6{,}5\), \(y_G=\frac{1+21}{4}=5{,}5\) → \(G(6{,}5\,;5{,}5)\).
Exercice 5 · ★★★
\(A(1,0)\), \(B(3,4)\), \(C(5,2)\) : centre de gravité \(G\) ?
Voir la correction
\(x_G=\frac{1+3+5}{3}=3\), \(y_G=\frac{0+4+2}{3}=2\) → \(G(3,2)\).
Exercice 6 · ★★★
\(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(0,9)\), \(\mathrm{bar}\{(A,1),(B,2),(C,3)\}\) ?
Voir la correction
Somme \(=6\). \(x_G=\frac{0+12+0}{6}=2\), \(y_G=\frac{0+0+27}{6}=4{,}5\) → \(G(2\,;4{,}5)\).
4.6Applications
Réduire \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}\) en \((\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}\) pour trouver des lignes de niveau (souvent des cercles).
\(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=6\Rightarrow2\,MI=6\Rightarrow MI=3\) : cercle de centre \(I\), rayon 3.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Réduis \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) (\(I\) milieu).
Voir la correction
\(=2\overrightarrow{MI}\).
Exercice 2 · ★
Que devient \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=4\) ?
Voir la correction
\(2\,MI=4\Rightarrow MI=2\) : cercle de centre \(I\), rayon 2.
Exercice 3 · ★★
Détermine \(\{M\mid\|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=10\}\).
Voir la correction
\(5\,MG=10\Rightarrow MG=2\), \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3)\}\) : cercle de centre \(G\), rayon 2.
Exercice 4 · ★★
Détermine \(\{M\mid\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=0\}\).
Voir la correction
\(2\,MI=0\Rightarrow MI=0\Rightarrow M=I\) : un seul point, le milieu \(I\).
Exercice 5 · ★★★
Détermine \(\{M\mid\|3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=8\}\).
Voir la correction
\(G=\mathrm{bar}\{(A,3),(B,1)\}\) : \(4\,MG=8\Rightarrow MG=2\) : cercle de centre \(G\), rayon 2.
Exercice 6 · ★★★
Détermine \(\{M\mid\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) colinéaires\(\}\) sachant \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) colinéaire à \(\overrightarrow{BA}\) signifie \(\overrightarrow{MI}\) colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) : \(M\) décrit la droite passant par \(I\) et dirigée par \(\overrightarrow{AB}\) (c.-à-d. la droite \((AB)\)).
Le produit scalaire dans le plan
Deux vecteurs → un nombre, reliant longueurs et angles. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
5.1Les trois expressions
\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\) (angle) ; via projection ; via normes \(\frac12(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2)\).
\(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=2\), \(\theta=\frac\pi3\) : \(\vec u\cdot\vec v=6\cdot\frac12=3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\|\vec u\|=4\), \(\|\vec v\|=5\), \(\theta=\frac\pi2\). Donne \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(4\cdot5\cdot\cos\frac\pi2=0\).
Exercice 2 · ★
\(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=3\), \(\theta=0\). Donne \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(2\cdot3\cdot\cos0=6\) (vecteurs colinéaires de même sens).
Exercice 3 · ★★
\(\|\vec u\|=5\), \(\|\vec v\|=2\), \(\theta=\frac\pi3\). Donne \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(5\cdot2\cdot\frac12=5\).
Exercice 4 · ★★
\(\|\vec u\|=4\), \(\|\vec v\|=4\), \(\theta=\pi\). Donne \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(4\cdot4\cdot\cos\pi=-16\) (sens opposés).
Exercice 5 · ★★★
Si \(\vec u\cdot\vec v<0\), que peut-on dire de l'angle \(\theta\) ?
Voir la correction
\(\cos\theta<0\), donc \(\theta\) est obtus (entre \(\frac\pi2\) et \(\pi\)).
Exercice 6 · ★★★
\(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=4\), \(\vec u\cdot\vec v=6\). Trouve \(\cos\theta\) puis \(\theta\).
Voir la correction
\(\cos\theta=\frac{6}{3\cdot4}=\frac12\), donc \(\theta=\frac\pi3\).
5.2Expression analytique
Repère orthonormé : \(\vec u(x,y)\cdot\vec v(x',y')=xx'+yy'\) et \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
\(\vec u(2,3)\), \(\vec v(4,-1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=8-3=5\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\vec u(1,0)\), \(\vec v(0,1)\). Donne \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(0\) (orthogonaux).
Exercice 2 · ★
\(\|\vec u\|\) pour \(\vec u(3,4)\) ?
Voir la correction
\(\sqrt{9+16}=5\).
Exercice 3 · ★★
\(\vec u(1,-2)\), \(\vec v(3,4)\). Donne \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(3-8=-5\).
Exercice 4 · ★★
\(A(1,1)\), \(B(4,5)\). Donne \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(3,4)\), \(\|\overrightarrow{AB}\|=5\).
Exercice 5 · ★★★
\(\vec u(2,1)\), \(\vec v(1,3)\). Donne \(\cos\theta\).
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec v=2+3=5\), \(\|\vec u\|=\sqrt5\), \(\|\vec v\|=\sqrt{10}\). \(\cos\theta=\frac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt2}\), donc \(\theta=\frac\pi4\).
Exercice 6 · ★★★
\(\vec u(x,2)\), \(\vec v(3,-1)\) tels que \(\vec u\cdot\vec v=4\). Trouve \(x\).
Voir la correction
\(3x-2=4\Rightarrow x=2\).
5.3Propriétés algébriques
Symétrie, bilinéarité, \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\), \(\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).
\(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=2\), \(\vec u\cdot\vec v=3\) : \(\|\vec u+\vec v\|^2=9+6+4=19\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Que vaut \(\vec u\cdot\vec u\) si \(\|\vec u\|=5\) ?
Voir la correction
\(25\).
Exercice 2 · ★
Développe \(\|\vec u+\vec v\|^2\).
Voir la correction
\(\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).
Exercice 3 · ★★
\(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=2\), \(\vec u\cdot\vec v=3\). Calcule \(\|\vec u+\vec v\|\).
Voir la correction
\(\sqrt{19}\).
Exercice 4 · ★★
Mêmes données : \(\|\vec u-\vec v\|\) ?
Voir la correction
\(\|\vec u-\vec v\|^2=9-6+4=7\), donc \(\sqrt7\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(\|\vec u+\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2=2(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2)\) (identité du parallélogramme).
Voir la correction
En développant : \((\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2)+(\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2)=2\|\vec u\|^2+2\|\vec v\|^2\). Les termes en \(\vec u\cdot\vec v\) s'annulent.
Exercice 6 · ★★★
\(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\) et \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt3\). Trouve \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(3=\|\vec u+\vec v\|^2=1+2\vec u\cdot\vec v+1\Rightarrow\vec u\cdot\vec v=\frac12\).
5.4Orthogonalité
\(\vec u\perp\vec v\Leftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0\).
\(\vec u(3,-1)\), \(\vec v(2,6)\) : \(6-6=0\) → orthogonaux.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\vec u(1,0)\), \(\vec v(0,5)\) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
\(0\) → oui.
Exercice 2 · ★
\(\vec u(2,3)\), \(\vec v(3,-2)\) ?
Voir la correction
\(6-6=0\) → orthogonaux.
Exercice 3 · ★★
Pour quel \(m\), \(\vec u(m,4)\perp\vec v(2,-3)\) ?
Voir la correction
\(2m-12=0\Rightarrow m=6\).
Exercice 4 · ★★
Pour quel \(m\), \(\vec u(m,m)\perp\vec v(1,-1)\) ?
Voir la correction
\(m-m=0\) toujours vrai : pour tout \(m\) (les directions sont perpendiculaires).
Exercice 5 · ★★★
\(A(1,1)\), \(B(4,2)\), \(C(2,5)\) : l'angle en \(A\) est-il droit ?
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(3,1)\), \(\overrightarrow{AC}(1,4)\), produit \(=7\ne0\) → non droit.
Exercice 6 · ★★★
Trouve un vecteur orthogonal à \(\vec u(3,5)\).
Voir la correction
Par exemple \(\vec v(5,-3)\) (on échange et on change un signe) : \(\vec u\cdot\vec v=15-15=0\).
5.5Angles, distances, Al-Kashi
\(\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\) ; Al-Kashi : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\).
\(b=3\), \(c=5\), \(\widehat A=60^\circ\) : \(a^2=9+25-15=19\), \(a=\sqrt{19}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Énonce Al-Kashi pour un angle \(\widehat A\) droit. Que retrouve-t-on ?
Voir la correction
\(\cos90^\circ=0\) → \(a^2=b^2+c^2\) : le théorème de Pythagore.
Exercice 2 · ★
\(\vec u(2,0)\), \(\vec v(0,2)\). Donne \(\cos\theta\).
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec v=0\) → \(\cos\theta=0\), \(\theta=\frac\pi2\).
Exercice 3 · ★★
\(b=4\), \(c=6\), \(\widehat A=60^\circ\). Calcule \(a\).
Voir la correction
\(a^2=16+36-2\cdot4\cdot6\cdot\frac12=52-24=28\), \(a=2\sqrt7\).
Exercice 4 · ★★
\(\vec u(1,1)\), \(\vec v(1,0)\). Donne l'angle \(\theta\).
Voir la correction
\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt2\cdot1}=\frac{1}{\sqrt2}\), donc \(\theta=\frac\pi4\).
Exercice 5 · ★★★
\(A(1,1)\), \(B(4,2)\), \(C(2,5)\). Calcule \(\cos\widehat A\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(3,1)\), \(\overrightarrow{AC}(1,4)\). \(\cos\widehat A=\frac{7}{\sqrt{10}\sqrt{17}}=\frac{7}{\sqrt{170}}\).
Exercice 6 · ★★★
Triangle de côtés \(a=7\), \(b=5\), \(c=3\). Calcule \(\cos\widehat A\) (\(\widehat A\) opposé à \(a\)).
Voir la correction
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\Rightarrow49=25+9-30\cos\widehat A\Rightarrow\cos\widehat A=\frac{34-49}{30}=-\frac12\) → \(\widehat A=120^\circ\).
5.6Cercle et lignes de niveau
Cercle de diamètre \([AB]\) : \(\{M\mid\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\}\).
\(A(-1,0)\), \(B(3,0)\) : \((x+1)(x-3)+y^2=0\Rightarrow(x-1)^2+y^2=4\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quel est le lieu de \(M\) tel que l'angle \(\widehat{AMB}\) soit droit ?
Voir la correction
Le cercle de diamètre \([AB]\).
Exercice 2 · ★
Centre et rayon du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) ?
Voir la correction
Centre \((2,0)\) (milieu), rayon \(2\).
Exercice 3 · ★★
\(A(0,0)\), \(B(4,0)\). Écris l'équation de \(\{M\mid\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\}\).
Voir la correction
\((-x)(4-x)+y^2=0\Rightarrow x^2-4x+y^2=0\Rightarrow(x-2)^2+y^2=4\).
Exercice 4 · ★★
Le point \((2,2)\) est-il sur le cercle de diamètre \([AB]\), \(A(0,0)\), \(B(4,0)\) ?
Voir la correction
\((2-2)^2+2^2=4=r^2\) → oui, il est sur le cercle.
Exercice 5 · ★★★
\(A(-1,0)\), \(B(3,0)\). Détermine \(\{M\mid\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\}\) et reconnais-le.
Voir la correction
\((x-1)^2+y^2=4\) : cercle de centre \((1,0)\), rayon 2.
Exercice 6 · ★★★
\(A(0,0)\), \(B(2,0)\). Détermine \(\{M\mid\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=3\}\).
Voir la correction
\((-x)(2-x)+y^2=3\Rightarrow x^2-2x+y^2=3\Rightarrow(x-1)^2+y^2=4\) : cercle de centre \((1,0)\), rayon 2.
Calcul trigonométrique
Cercle, \(\cos/\sin/\tan\), formules, équations. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
6.1Cercle trigonométrique et radians
Cercle de rayon 1 ; radians = longueur d'arc ; \(180^\circ=\pi\) rad ; \(x^\circ=\frac{\pi x}{180}\) rad.
\(60^\circ=\frac\pi3\), \(90^\circ=\frac\pi2\), \(360^\circ=2\pi\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Convertis \(90^\circ\) en radians.
Voir la correction
\(\frac\pi2\).
Exercice 2 · ★
Convertis \(30^\circ\) en radians.
Voir la correction
\(\frac\pi6\).
Exercice 3 · ★★
Convertis \(135^\circ\) en radians.
Voir la correction
\(\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}\).
Exercice 4 · ★★
Convertis \(\frac{5\pi}{6}\) en degrés.
Voir la correction
\(\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=150^\circ\).
Exercice 5 · ★★★
Convertis \(210^\circ\) en radians.
Voir la correction
\(\frac{210\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}\).
Exercice 6 · ★★★
Convertis \(\frac{11\pi}{4}\) en degrés et ramène dans \([0,360^\circ[\).
Voir la correction
\(\frac{11\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi}=495^\circ\), soit \(495-360=135^\circ\).
6.2Cosinus, sinus, tangente
\(\cos x\) = abscisse, \(\sin x\) = ordonnée du point du cercle, \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
\(\cos\frac\pi3=\frac12\), \(\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\tan\frac\pi4=1\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Donne \(\cos0\) et \(\sin0\).
Voir la correction
\(\cos0=1\), \(\sin0=0\).
Exercice 2 · ★
Donne \(\cos\frac\pi2\) et \(\sin\frac\pi2\).
Voir la correction
\(0\) et \(1\).
Exercice 3 · ★★
Donne \(\sin\frac\pi6\), \(\cos\frac\pi4\), \(\tan\frac\pi3\).
Voir la correction
\(\frac12\), \(\frac{\sqrt2}{2}\), \(\sqrt3\).
Exercice 4 · ★★
Calcule \(\tan\frac\pi6\).
Voir la correction
\(\frac{\sin\pi/6}{\cos\pi/6}=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).
Exercice 5 · ★★★
Pourquoi \(\tan\frac\pi2\) n'est-il pas défini ?
Voir la correction
Car \(\cos\frac\pi2=0\) et on diviserait par 0.
Exercice 6 · ★★★
Vérifie \(\cos^2\frac\pi3+\sin^2\frac\pi3=1\).
Voir la correction
\((\frac12)^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2=\frac14+\frac34=1\). ✓
6.3Relations fondamentales
\(\cos^2x+\sin^2x=1\) ; \(1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\).
\(\cos x=\frac35\), \(x\in]0,\frac\pi2[\) : \(\sin x=\frac45\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Si \(\sin x=0\), que vaut \(\cos^2x\) ?
Voir la correction
\(\cos^2x=1-0=1\).
Exercice 2 · ★
Si \(\cos x=1\), que vaut \(\sin x\) ?
Voir la correction
\(\sin^2x=0\Rightarrow\sin x=0\).
Exercice 3 · ★★
\(\cos x=\frac35\), \(x\in]0,\frac\pi2[\). Donne \(\sin x\).
Voir la correction
\(\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\), \(\sin x=\frac45\) (positif).
Exercice 4 · ★★
\(\sin x=\frac{5}{13}\), \(x\in]0,\frac\pi2[\). Donne \(\cos x\) et \(\tan x\).
Voir la correction
\(\cos x=\frac{12}{13}\), \(\tan x=\frac{5}{12}\).
Exercice 5 · ★★★
\(\cos x=-\frac35\), \(x\in]\frac\pi2,\pi[\). Donne \(\sin x\).
Voir la correction
\(\sin^2x=\frac{16}{25}\). Sur \(]\frac\pi2,\pi[\), \(\sin x>0\), donc \(\sin x=\frac45\).
Exercice 6 · ★★★
\(\tan x=2\), \(x\in]0,\frac\pi2[\). Donne \(\cos x\).
Voir la correction
\(1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\Rightarrow\frac{1}{\cos^2x}=5\Rightarrow\cos^2x=\frac15\Rightarrow\cos x=\frac{1}{\sqrt5}\) (positif).
6.4Angles associés
\(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) ; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\).
\(\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac\pi3\) : \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\), \(\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Donne \(\cos(-\frac\pi3)\).
Voir la correction
\(\cos\frac\pi3=\frac12\).
Exercice 2 · ★
Donne \(\sin(-\frac\pi6)\).
Voir la correction
\(-\sin\frac\pi6=-\frac12\).
Exercice 3 · ★★
Donne \(\cos\frac{2\pi}{3}\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}\).
Voir la correction
\(-\frac12\) et \(\frac{\sqrt3}{2}\) (\(=\pi-\frac\pi3\)).
Exercice 4 · ★★
Donne \(\cos\frac{5\pi}{6}\) et \(\sin\frac{5\pi}{6}\).
Voir la correction
\(=\pi-\frac\pi6\) : \(-\frac{\sqrt3}{2}\) et \(\frac12\).
Exercice 5 · ★★★
Donne \(\cos\frac{3\pi}{4}\) et \(\sin\frac{3\pi}{4}\).
Voir la correction
\(=\pi-\frac\pi4\) : \(-\frac{\sqrt2}{2}\) et \(\frac{\sqrt2}{2}\).
Exercice 6 · ★★★
Simplifie \(\cos(\frac\pi2-x)+\sin(\pi-x)\).
Voir la correction
\(\cos(\frac\pi2-x)=\sin x\) et \(\sin(\pi-x)=\sin x\), donc la somme vaut \(2\sin x\).
6.5Addition et duplication
\(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\) ; \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\) ; \(\cos2a=2\cos^2a-1\), \(\sin2a=2\sin a\cos a\).
\(\cos\frac{\pi}{12}=\cos(\frac\pi3-\frac\pi4)=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Écris la formule de \(\sin(a+b)\).
Voir la correction
\(\sin a\cos b+\cos a\sin b\).
Exercice 2 · ★
Exprime \(\sin2a\).
Voir la correction
\(2\sin a\cos a\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\cos\frac{\pi}{12}\) via \(\frac\pi3-\frac\pi4\).
Voir la correction
\(\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\).
Exercice 4 · ★★
Si \(\sin a=\frac35\), \(\cos a=\frac45\), calcule \(\sin2a\).
Voir la correction
\(2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(\sin\frac{7\pi}{12}\) (\(=\frac\pi3+\frac\pi4\)).
Voir la correction
\(\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4+\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).
Exercice 6 · ★★★
Avec \(\cos a=\frac45\) (\(a\in]0,\frac\pi2[\)), calcule \(\cos2a\).
Voir la correction
\(\cos2a=2\cos^2a-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32-25}{25}=\frac{7}{25}\).
6.6Équations trigonométriques
\(\cos x=\cos a\Leftrightarrow x=\pm a+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin a\Leftrightarrow x=a+2k\pi\) ou \(\pi-a+2k\pi\).
\(\cos x=\frac12=\cos\frac\pi3\Rightarrow x=\pm\frac\pi3+2k\pi\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Résous \(\cos x=1\) dans \(\mathbb R\).
Voir la correction
\(x=2k\pi\).
Exercice 2 · ★
Résous \(\sin x=0\) dans \(\mathbb R\).
Voir la correction
\(x=k\pi\).
Exercice 3 · ★★
Résous \(\cos x=\frac12\) dans \(\mathbb R\).
Voir la correction
\(x=\frac\pi3+2k\pi\) ou \(x=-\frac\pi3+2k\pi\).
Exercice 4 · ★★
Résous \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) dans \(\mathbb R\).
Voir la correction
\(x=\frac\pi4+2k\pi\) ou \(x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\).
Exercice 5 · ★★★
Résous \(\cos x=\frac12\) dans \([0,2\pi[\).
Voir la correction
\(x=\frac\pi3\) ou \(x=\frac{5\pi}{3}\) (car \(-\frac\pi3+2\pi=\frac{5\pi}{3}\)).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(2\cos^2x-\cos x-1=0\) dans \([0,2\pi[\).
Voir la correction
\(X=\cos x\) : \(X=1\) ou \(X=-\frac12\). Solutions : \(0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\).
Les suites numériques
Listes de nombres indexées par les entiers. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
7.1Définition d'une suite
Une suite \((u_n)\) associe à chaque \(n\) un réel \(u_n\).
\(u_n=4n-1\) : \(u_0=-1\), \(u_1=3\), \(u_2=7\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_n=3n\). Donne \(u_0\), \(u_2\).
Voir la correction
\(0\) et \(6\).
Exercice 2 · ★
\(u_n=n^2-2\). Donne \(u_0\), \(u_3\).
Voir la correction
\(-2\) et \(7\).
Exercice 3 · ★★
\(u_n=\frac{1}{n+1}\). Donne \(u_0\), \(u_1\), \(u_4\).
Voir la correction
\(1\), \(\frac12\), \(\frac15\).
Exercice 4 · ★★
\(u_n=(-1)^n\). Donne \(u_0,u_1,u_2,u_3\).
Voir la correction
\(1,-1,1,-1\) (alternée).
Exercice 5 · ★★★
\(u_n=\frac{2n-1}{n+1}\). Donne \(u_0\) et \(u_3\).
Voir la correction
\(u_0=\frac{-1}{1}=-1\) ; \(u_3=\frac{5}{4}\).
Exercice 6 · ★★★
Pour quel \(n\) a-t-on \(u_n=10\) si \(u_n=2n+4\) ?
Voir la correction
\(2n+4=10\Rightarrow n=3\).
7.2Modes de génération
Explicite \(u_n=f(n)\) ; récurrence premier terme + \(u_{n+1}=f(u_n)\).
\(u_0=2,\ u_{n+1}=3u_n-1\) : \(u_1=5\), \(u_2=14\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_0=0,\ u_{n+1}=u_n+2\). Donne \(u_1,u_2\).
Voir la correction
\(2\), \(4\).
Exercice 2 · ★
\(u_0=1,\ u_{n+1}=2u_n\). Donne \(u_1,u_2,u_3\).
Voir la correction
\(2,4,8\).
Exercice 3 · ★★
\(u_0=1,\ u_{n+1}=2u_n+3\). Donne \(u_1,u_2,u_3\).
Voir la correction
\(5,13,29\).
Exercice 4 · ★★
\(u_0=3,\ u_{n+1}=\frac12 u_n+1\). Donne \(u_1,u_2\).
Voir la correction
\(u_1=\frac52\), \(u_2=\frac94\).
Exercice 5 · ★★★
\(u_0=2,\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). Donne \(u_1,u_2\).
Voir la correction
\(u_1=\sqrt4=2\), \(u_2=\sqrt4=2\) : la suite est constante (2 est point fixe).
Exercice 6 · ★★★
Écris explicitement \(u_n\) si \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=u_n+3\).
Voir la correction
C'est arithmétique de raison 3 : \(u_n=5+3n\).
7.3Suites majorées, minorées, bornées
Majorée (\(u_n\le M\)), minorée (\(u_n\ge m\)), bornée (les deux).
\(u_n=\frac{n}{n+1}\) : \(0\le u_n<1\), donc bornée.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_n=5\) (constante). Est-elle bornée ?
Voir la correction
Oui : \(5\le u_n\le5\).
Exercice 2 · ★
\(u_n=n\). Est-elle majorée ?
Voir la correction
Non (elle croît sans limite), mais minorée par 0.
Exercice 3 · ★★
Montre que \(u_n=\frac{1}{n+1}\) (\(n\ge0\)) est bornée.
Voir la correction
\(0<\frac{1}{n+1}\le1\) : minorée par 0, majorée par 1.
Exercice 4 · ★★
\(u_n=(-1)^n\). Est-elle bornée ?
Voir la correction
Oui : \(-1\le u_n\le1\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(u_n=\frac{2n+1}{n+1}\) est majorée par 2.
Voir la correction
\(u_n=\frac{2(n+1)-1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}<2\). Donc majorée par 2 (et minorée par \(u_0=1\)).
Exercice 6 · ★★★
\(u_n=\frac{n^2}{n^2+1}\). Montre \(0\le u_n<1\).
Voir la correction
\(u_n=1-\frac{1}{n^2+1}\). Comme \(0<\frac{1}{n^2+1}\le1\), on a \(0\le u_n<1\) : bornée.
7.4Monotonie
Signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; ou \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) vs 1 (si \(u_n>0\)).
\(u_n=\frac{n}{n+1}\) : \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\) → croissante.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_n=2n\). Croissante ou décroissante ?
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=2>0\) → croissante.
Exercice 2 · ★
\(u_n=-n+5\). Sens ?
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=-1<0\) → décroissante.
Exercice 3 · ★★
\(u_n=\frac{n}{n+1}\). Étudie la monotonie.
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\) → strictement croissante.
Exercice 4 · ★★
\(u_n=2^n\) (\(>0\)). Compare \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1.
Voir la correction
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=2>1\) → croissante.
Exercice 5 · ★★★
\(u_n=n^2-5n\). Étudie la monotonie.
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=2n-4\) : \(<0\) si \(n\le1\), \(>0\) si \(n\ge2\). Décroît puis croît.
Exercice 6 · ★★★
\(u_n=\frac{3^n}{n!}\) (\(>0\)). Étudie \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et conclus à partir d'un certain rang.
Voir la correction
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3}{n+1}\). \(<1\) dès que \(n+1>3\), soit \(n\ge3\) : la suite est décroissante à partir du rang 3.
7.5Suites arithmétiques
\(u_{n+1}=u_n+r\) ; \(u_n=u_0+nr\) ; somme \((n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\).
\(u_0=5\), \(r=3\) : \(u_{10}=35\), somme \(220\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_0=2\), \(r=5\). Donne \(u_n\).
Voir la correction
\(u_n=2+5n\).
Exercice 2 · ★
Même suite : \(u_4\) ?
Voir la correction
\(u_4=2+20=22\).
Exercice 3 · ★★
\(u_0=7\), \(r=2\). Calcule \(u_0+\dots+u_{10}\).
Voir la correction
\(u_{10}=27\), somme \(=11\cdot\frac{7+27}{2}=11\cdot17=187\).
Exercice 4 · ★★
Une suite arithmétique a \(u_0=10\), \(u_5=0\). Trouve \(r\).
Voir la correction
\(u_5=u_0+5r\Rightarrow0=10+5r\Rightarrow r=-2\).
Exercice 5 · ★★★
\(u_3=11\), \(u_8=26\). Trouve \(r\) et \(u_0\).
Voir la correction
\(5r=15\Rightarrow r=3\) ; \(u_0=11-9=2\).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(1+2+3+\dots+100\).
Voir la correction
Suite arithmétique \(u_1=1\), \(r=1\), 100 termes : \(100\cdot\frac{1+100}{2}=5050\).
7.6Suites géométriques
\(u_{n+1}=q\,u_n\) ; \(u_n=u_0\,q^n\) ; somme (\(q\ne1\)) \(u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
\(v_0=3\), \(q=2\) : \(v_n=3\cdot2^n\), somme \(v_0+\dots+v_5=189\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(v_0=1\), \(q=3\). Donne \(v_n\).
Voir la correction
\(v_n=3^n\).
Exercice 2 · ★
Même suite : \(v_3\) ?
Voir la correction
\(v_3=27\).
Exercice 3 · ★★
\(v_0=2\), \(q=3\). Calcule \(v_0+\dots+v_4\).
Voir la correction
\(2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{-242}{-2}=242\).
Exercice 4 · ★★
\(v_0=16\), \(q=\frac12\). Donne \(v_3\).
Voir la correction
\(v_3=16\cdot\frac18=2\).
Exercice 5 · ★★★
\(v_2=12\), \(v_5=96\). Trouve la raison \(q\).
Voir la correction
\(\frac{v_5}{v_2}=q^3=\frac{96}{12}=8\Rightarrow q=2\).
Exercice 6 · ★★★
\(u_0=1,\ u_{n+1}=2u_n+3\), \(v_n=u_n+3\). Montre que \((v_n)\) est géométrique et donne \(u_n\).
Voir la correction
\(v_{n+1}=2v_n\), \(v_0=4\), donc \(v_n=2^{n+2}\) et \(u_n=2^{n+2}-3\).
La rotation dans le plan
Une isométrie qui fait tourner le plan autour d'un point. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
8.1Définition d'une rotation
\(R(\Omega,\theta)\) envoie \(M\) sur \(M'\) avec \(\Omega M'=\Omega M\) et \((\widehat{\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}})=\theta\). \(\Omega\) est invariant.
\(\theta=\pi\) : symétrie centrale ; \(\theta=0\) : identité.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quelle transformation est \(R(\Omega,0)\) ?
Voir la correction
L'identité.
Exercice 2 · ★
Quelle transformation est \(R(\Omega,\pi)\) ?
Voir la correction
La symétrie centrale de centre \(\Omega\).
Exercice 3 · ★★
Quelle est l'image de \(\Omega\) par \(R(\Omega,\frac\pi4)\) ?
Voir la correction
\(\Omega\) lui-même (le centre est invariant).
Exercice 4 · ★★
\(R(\Omega,2\pi)\) : quelle transformation ?
Voir la correction
L'identité (tour complet).
Exercice 5 · ★★★
Si \(M'=R(\Omega,\theta)(M)\) et \(\Omega M=4\), que vaut \(\Omega M'\) ?
Voir la correction
\(\Omega M'=4\) (distance au centre conservée).
Exercice 6 · ★★★
Deux rotations \(R(\Omega,\frac\pi2)\) et \(R(\Omega,-\frac{3\pi}{2})\) ont-elles le même effet ?
Voir la correction
Oui : \(-\frac{3\pi}{2}\) et \(\frac\pi2\) diffèrent de \(2\pi\), donc même rotation.
8.2Propriétés (isométrie)
Conserve distances, angles, alignement, aires ; bijection de réciproque \(R(\Omega,-\theta)\).
\(A'=R(A)\), \(B'=R(B)\) → \(A'B'=AB\). Réciproque de \(R(\Omega,\frac\pi4)\) : \(R(\Omega,-\frac\pi4)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Si \(AB=7\), que vaut \(A'B'\) (images par une rotation) ?
Voir la correction
\(A'B'=7\).
Exercice 2 · ★
Réciproque de \(R(\Omega,\frac\pi3)\) ?
Voir la correction
\(R(\Omega,-\frac\pi3)\).
Exercice 3 · ★★
Réciproque de \(R(\Omega,\frac{2\pi}{3})\) ?
Voir la correction
\(R(\Omega,-\frac{2\pi}{3})\).
Exercice 4 · ★★
Une rotation conserve-t-elle l'aire d'un triangle ?
Voir la correction
Oui (c'est une isométrie).
Exercice 5 · ★★★
Réciproque de la symétrie centrale (\(R(\Omega,\pi)\)) ?
Voir la correction
\(R(\Omega,-\pi)=R(\Omega,\pi)\) : elle est sa propre réciproque (involution).
Exercice 6 · ★★★
L'angle \(\widehat{ABC}\) vaut \(40^\circ\). Que vaut l'angle de son image par une rotation ?
Voir la correction
\(40^\circ\) (les angles sont conservés).
8.3Image des figures usuelles
Droite → droite ; segment \([AB]\) → \([A'B']\) (\(A'B'=AB\)) ; cercle \((O,r)\) → cercle \((O',r)\).
Image d'un cercle de rayon 5 : un cercle de rayon 5 (centre déplacé).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Image d'une droite par une rotation ?
Voir la correction
Une droite.
Exercice 2 · ★
Image d'un cercle de rayon 3 par \(R(\Omega,\frac\pi2)\) ?
Voir la correction
Un cercle de rayon 3.
Exercice 3 · ★★
Image d'un segment de longueur 8 ?
Voir la correction
Un segment de longueur 8.
Exercice 4 · ★★
\(M'=R(\Omega,\frac\pi3)(M)\), \(M\ne\Omega\). Nature de \(\Omega MM'\) ?
Voir la correction
Isocèle (\(\Omega M=\Omega M'\)) avec angle \(60^\circ\) → équilatéral.
Exercice 5 · ★★★
\(M'=R(\Omega,\frac\pi2)(M)\), \(M\ne\Omega\). Nature de \(\Omega MM'\) ?
Voir la correction
Isocèle (\(\Omega M=\Omega M'\)) et rectangle en \(\Omega\) (angle \(90^\circ\)) → rectangle isocèle.
Exercice 6 · ★★★
Une rotation peut-elle transformer un carré en rectangle non carré ?
Voir la correction
Non : elle conserve les longueurs et les angles, donc l'image d'un carré est un carré (de même taille).
8.4Rotation et configurations
On identifie une rotation envoyant une partie de la figure sur une autre. Composer deux rotations de même centre : les angles s'additionnent.
Triangle équilatéral \(ABC\) de centre \(O\) : \(R(O,\frac{2\pi}{3})\) envoie \(A\to B\to C\to A\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Compose \(R(\Omega,\frac\pi4)\) et \(R(\Omega,\frac\pi4)\). Angle total ?
Voir la correction
\(\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2\).
Exercice 2 · ★
Compose \(R(\Omega,\frac\pi2)\) et \(R(\Omega,\frac\pi2)\). Résultat ?
Voir la correction
\(\frac\pi2+\frac\pi2=\pi\) : symétrie centrale.
Exercice 3 · ★★
Compose \(R(\Omega,\frac\pi3)\) puis \(R(\Omega,\frac\pi6)\).
Voir la correction
\(\frac\pi3+\frac\pi6=\frac\pi2\) : \(R(\Omega,\frac\pi2)\).
Exercice 4 · ★★
Combien de fois composer \(R(\Omega,\frac{2\pi}{3})\) pour revenir à l'identité ?
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3 fois : \(3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi\) = identité.
Exercice 5 · ★★★
Dans le triangle équilatéral \(ABC\) de centre \(O\), donne \(R(O,\frac{2\pi}{3})(A)\), \(R(O,\frac{2\pi}{3})(B)\).
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\(R(O,\frac{2\pi}{3})(A)=B\) et \(R(O,\frac{2\pi}{3})(B)=C\) (rotation d'un tiers de tour).
Exercice 6 · ★★★
Explique pourquoi \(R(O,\frac{2\pi}{3})\) laisse le triangle équilatéral globalement invariant.
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Les sommets sont à \(120^\circ\) les uns des autres autour de \(O\) et à même distance de \(O\). La rotation les permute (\(A\to B\to C\to A\)), donc l'ensemble \(\{A,B,C\}\) est inchangé : le triangle est globalement invariant.