Semestre 2 :
Analyse, Espace & Arithmétique
Limites d'une fonction
Le premier outil de l'analyse : comprendre vers quoi tend une fonction. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
9.1Notion de limite en un point
\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell\) signifie que \(f(x)\) se rapproche autant qu'on veut de \(\ell\) quand \(x\) se rapproche de \(a\). On distingue la limite à gauche \(\lim\limits_{x\to a^-}\) et à droite \(\lim\limits_{x\to a^+}\) ; la limite existe si elles sont égales.
\(\lim\limits_{x\to2}(3x-1)=5\) : il suffit de remplacer (fonction continue). Pour \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(\lim\limits_{x\to0^+}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to0^-}=-\infty\) : pas de limite en 0.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Calcule \(\lim\limits_{x\to3}(2x+1)\).
Voir la correction
\(2\cdot3+1=7\).
Exercice 2 · ★
Calcule \(\lim\limits_{x\to1}(x^2+x)\).
Voir la correction
\(1+1=2\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}\).
Voir la correction
\(+\infty\) et \(-\infty\). La limite en 0 n'existe pas.
Exercice 4 · ★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
Voir la correction
\(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to4\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\).
Voir la correction
\(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\to2\).
Exercice 6 · ★★★
Étudie \(\lim\limits_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}\) et \(\lim\limits_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}\).
Voir la correction
Près de 1⁻, \(x-1\to0^-\) donc \(\to-\infty\) ; près de 1⁺, \(x-1\to0^+\) donc \(\to+\infty\).
9.2Limites à l'infini
\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) si \(f(x)\) se rapproche de \(\ell\) quand \(x\) devient très grand. La limite peut être finie, \(+\infty\) ou \(-\infty\).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^3\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}\) ?
Voir la correction
\(0^+\) (toujours positif).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-5)\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to-\infty}x^3\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2\) ?
Voir la correction
\(x^3\to-\infty\) (puissance impaire), \(x^2\to+\infty\) (puissance paire).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\big(3+\frac{2}{x}\big)\) ?
Voir la correction
\(\frac2x\to0\), donc la limite vaut \(3\).
9.3Limites des fonctions de référence
\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty\).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^5\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^3}\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x^3}\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt x+1)\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x^3}\) ?
Voir la correction
\(x^3\to0^-\), donc \(\frac{1}{x^3}\to-\infty\).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt x}{x}\) ?
Voir la correction
\(\frac{\sqrt x}{x}=\frac{1}{\sqrt x}\to0\).
9.4Opérations sur les limites
La limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient est la somme/produit/quotient des limites — sauf cas indéterminés. Attention aux formes \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2+x)=+\infty+\infty=+\infty\). Mais \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x-x^2)\) est de la forme \(\infty-\infty\) : indéterminée a priori.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2+5)\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\big(3-\frac1x\big)\) ?
Voir la correction
\(3\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}\) ?
Voir la correction
\(=2+\frac1x\to2\).
Exercice 4 · ★★
Identifie la forme : \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2-x)\).
Voir la correction
Forme \(\infty-\infty\) (indéterminée). On factorise : \(x^2(1-\frac1x)\to+\infty\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2-3x+1)\) en factorisant.
Voir la correction
\(x^2(1-\frac3x+\frac{1}{x^2})\to+\infty\cdot1=+\infty\).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+x}{x}\) ?
Voir la correction
\(\frac{x(x+1)}{x}=x+1\to1\).
9.5Formes indéterminées et techniques
Pour lever une indétermination : factoriser par le terme dominant (polynômes et quotients à l'infini), simplifier (factorisation en un point), ou utiliser la quantité conjuguée (avec des racines).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-2}\) : on factorise par \(x^2\) → \(\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x^2}}\to3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{1}{1+1/x}\to1\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2x}{3x+1}\) ?
Voir la correction
\(\to\frac23\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-2}\) ?
Voir la correction
Factorisation par \(x^2\) → \(3\).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{x+1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{x^2(1+1/x^2)}{x(1+1/x)}=x\cdot\frac{1+\dots}{1+\dots}\to+\infty\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-2x-3}\) ?
Voir la correction
\(\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}=\frac{x+3}{x+1}\to\frac{6}{4}=\frac32\).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) (quantité conjuguée).
Voir la correction
Multiplie par \(\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\) : \(\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\frac12\).
9.6Limites et théorèmes de comparaison
Si \(f\le g\) au voisinage de \(a\) et \(f\to+\infty\), alors \(g\to+\infty\). Théorème des gendarmes : si \(g\le f\le h\) et \(g,h\to\ell\), alors \(f\to\ell\).
\(-1\le\sin x\le1\) donne \(-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}\) ; par les gendarmes, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Encadre \(\sin x\) pour tout \(x\).
Voir la correction
\(-1\le\sin x\le1\).
Exercice 2 · ★
Si \(f(x)\ge x\) et \(x\to+\infty\), que dire de \(f\) ?
Voir la correction
\(f(x)\to+\infty\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\).
Voir la correction
Par les gendarmes (\(-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x\)) : \(0\).
Exercice 4 · ★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x^2}\).
Voir la correction
\(|\frac{\cos x}{x^2}|\le\frac{1}{x^2}\to0\), donc la limite est \(0\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sin x)=+\infty\).
Voir la correction
\(x+\sin x\ge x-1\to+\infty\), donc par comparaison \(\to+\infty\).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac1x\).
Voir la correction
\(|x\sin\frac1x|\le|x|\to0\), donc par les gendarmes la limite vaut \(0\).
9.7Limite d'une fonction composée
Si \(\lim\limits_{x\to a}u(x)=b\) et \(\lim\limits_{t\to b}f(t)=\ell\), alors \(\lim\limits_{x\to a}f(u(x))=\ell\) (on enchaîne les limites).
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x+1}\) : on pose \(u=x+1\to+\infty\), puis \(\sqrt{u}\to+\infty\). Donc \(+\infty\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x+1}\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{1}{x}}\) ?
Voir la correction
\(u=\frac1x\to0^+\), \(\sqrt u\to0\). Limite \(0\).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\limits_{x\to2}\sqrt{x^2+5}\) ?
Voir la correction
\(u=x^2+5\to9\), \(\sqrt9=3\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x+1}{x}}\) ?
Voir la correction
\(\frac{x+1}{x}\to1\), donc \(\sqrt{\ }\to1\).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}+1}\) ?
Voir la correction
\(\sqrt x+1\to+\infty\), donc \(\frac{1}{\sqrt x+1}\to0\).
9.8Asymptotes
Verticale \(x=a\) si \(\lim\limits_{x\to a}f=\pm\infty\). Horizontale \(y=\ell\) si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f=\ell\). Oblique \(y=ax+b\) si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-(ax+b))=0\).
\(f(x)=\frac{1}{x-2}\) : asymptote verticale \(x=2\) et horizontale \(y=0\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Asymptote horizontale de \(f(x)=\frac1x\) ?
Voir la correction
\(y=0\).
Exercice 2 · ★
Asymptote verticale de \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) ?
Voir la correction
\(x=2\).
Exercice 3 · ★★
Asymptote horizontale de \(f(x)=\frac{2x+1}{x}\) ?
Voir la correction
\(\lim=2\), donc \(y=2\).
Exercice 4 · ★★
Asymptotes de \(f(x)=\frac{3x}{x-1}\).
Voir la correction
Verticale \(x=1\) ; horizontale \(y=3\) (\(\lim_{\pm\infty}=3\)).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(y=x\) est asymptote oblique de \(f(x)=x+\frac1x\) en \(+\infty\).
Voir la correction
\(f(x)-x=\frac1x\to0\), donc \(y=x\) est asymptote oblique.
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\). Détermine l'asymptote oblique.
Voir la correction
\(f(x)=x+\frac1x\), donc \(f(x)-x=\frac1x\to0\) : asymptote oblique \(y=x\).
La dérivation
L'outil qui mesure la vitesse de variation d'une fonction et donne la pente de sa tangente. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
10.1Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé en \(a\) est \(f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\). La tangente en \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
\(f(x)=x^2\) : \(\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h\to2a\), donc \(f'(a)=2a\). En \(a=1\), tangente \(y=2(x-1)+1=2x-1\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Si \(f'(2)=3\) et \(f(2)=1\), donne l'équation de la tangente en 2.
Voir la correction
\(y=3(x-2)+1=3x-5\).
Exercice 2 · ★
Pour \(f(x)=x^2\), donne \(f'(3)\) (formule \(f'(a)=2a\)).
Voir la correction
\(6\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(f'(a)\) pour \(f(x)=3x+1\) avec la définition.
Voir la correction
\(\frac{3(a+h)+1-(3a+1)}{h}=3\), donc \(f'(a)=3\).
Exercice 4 · ★★
Tangente à \(f(x)=x^2\) en \(a=2\).
Voir la correction
\(f'(2)=4\), \(f(2)=4\) → \(y=4(x-2)+4=4x-4\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(f'(a)\) pour \(f(x)=\frac1x\) (avec la définition).
Voir la correction
\(\frac{\frac{1}{a+h}-\frac1a}{h}=\frac{-1}{a(a+h)}\to-\frac{1}{a^2}\). Donc \(f'(a)=-\frac{1}{a^2}\).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(f'(a)\) pour \(f(x)=\sqrt x\) (\(a>0\)).
Voir la correction
\(\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}\to\frac{1}{2\sqrt a}\).
10.2Fonction dérivée
La fonction dérivée \(f'\) associe à chaque \(x\) le nombre dérivé \(f'(x)\), quand il existe. \(f\) est dérivable sur \(I\) si \(f'(x)\) existe pour tout \(x\in I\).
\((x^2)'=2x\), \((x^3)'=3x^2\), \((\frac1x)'=-\frac{1}{x^2}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(f(x)=x^2\) ?
Voir la correction
\(2x\).
Exercice 2 · ★
Dérivée de \(f(x)=x^3\) ?
Voir la correction
\(3x^2\).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\frac1x\) ?
Voir la correction
\(-\frac{1}{x^2}\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\sqrt x\) ?
Voir la correction
\(\frac{1}{2\sqrt x}\).
Exercice 5 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=x^5\) ? Généralise \((x^n)'\).
Voir la correction
\(5x^4\) ; en général \((x^n)'=nx^{n-1}\).
Exercice 6 · ★★★
Sur quel domaine \(f(x)=\sqrt x\) est-elle dérivable ?
Voir la correction
Sur \(]0,+\infty[\) (pas en 0, où la tangente est verticale).
10.3Dérivées des fonctions usuelles
\((k)'=0\) ; \((x)'=1\) ; \((x^n)'=nx^{n-1}\) ; \((\frac1x)'=-\frac1{x^2}\) ; \((\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}\) ; \((\sin x)'=\cos x\) ; \((\cos x)'=-\sin x\).
\((x^4)'=4x^3\) ; \((\cos x)'=-\sin x\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(f(x)=7\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
Dérivée de \(f(x)=x^{10}\) ?
Voir la correction
\(10x^9\).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\sin x\) et de \(g(x)=\cos x\) ?
Voir la correction
\(\cos x\) et \(-\sin x\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(f(x)=x^{-2}\) ?
Voir la correction
\(-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}\).
Exercice 5 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=\sqrt x\) en \(x=4\) ?
Voir la correction
\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}\), \(f'(4)=\frac{1}{4}\).
Exercice 6 · ★★★
Donne la dérivée de \(f(x)=x^{3/2}\) (admis : \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\)).
Voir la correction
\(\frac32 x^{1/2}=\frac32\sqrt x\).
10.4Opérations sur les dérivées
\((u+v)'=u'+v'\) ; \((ku)'=ku'\) ; \((uv)'=u'v+uv'\) ; \(\big(\frac uv\big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\).
\((x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(f(x)=x^2+3x\) ?
Voir la correction
\(2x+3\).
Exercice 2 · ★
Dérivée de \(f(x)=5x^3\) ?
Voir la correction
\(15x^2\).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(f(x)=x^2(x+1)\) (produit) ?
Voir la correction
\(2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\frac{x}{x+1}\) (quotient) ?
Voir la correction
\(\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\).
Exercice 5 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=x\cos x\) ?
Voir la correction
\(\cos x+x(-\sin x)=\cos x-x\sin x\).
Exercice 6 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=\frac{2x-1}{x^2+1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{2(x^2+1)-(2x-1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}\).
10.5Dérivée d'une fonction composée
\((f\circ u)'=u'\times f'(u)\). Cas utiles : \((u^n)'=nu'u^{n-1}\) ; \((\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\) ; \((\sin u)'=u'\cos u\).
\(\big((2x+1)^3\big)'=3\cdot2\cdot(2x+1)^2=6(2x+1)^2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(f(x)=(x+1)^2\) ?
Voir la correction
\(2(x+1)\).
Exercice 2 · ★
Dérivée de \(f(x)=(3x)^2\) ?
Voir la correction
\(2\cdot3\cdot(3x)=18x\) (ou \(9x^2\) dérivé = \(18x\)).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(f(x)=(2x+1)^3\) ?
Voir la correction
\(6(2x+1)^2\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
Exercice 5 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=\sin(3x)\) ?
Voir la correction
\(3\cos(3x)\).
Exercice 6 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=\cos(x^2)\) ?
Voir la correction
\(-2x\sin(x^2)\).
10.6Dérivée et sens de variation
Sur un intervalle : \(f'\ge0\Rightarrow f\) croissante ; \(f'\le0\Rightarrow f\) décroissante ; \(f'=0\) (constante). On étudie le signe de \(f'\) pour dresser le tableau de variations.
\(f(x)=x^2\) : \(f'(x)=2x\), négatif sur \(]-\infty,0]\) (décroissante), positif sur \([0,+\infty[\) (croissante).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f'(x)=2>0\). Que dire de \(f\) ?
Voir la correction
\(f\) est croissante.
Exercice 2 · ★
\(f(x)=x^2\) : signe de \(f'\) sur \([0,+\infty[\) ?
Voir la correction
\(f'(x)=2x\ge0\) → croissante.
Exercice 3 · ★★
Étudie les variations de \(f(x)=x^2-4x\).
Voir la correction
\(f'(x)=2x-4\), nul en \(x=2\). Décroissante sur \(]-\infty,2]\), croissante sur \([2,+\infty[\).
Exercice 4 · ★★
Variations de \(f(x)=-x^2+6x\).
Voir la correction
\(f'(x)=-2x+6\), nul en \(x=3\). Croissante sur \(]-\infty,3]\), décroissante après.
Exercice 5 · ★★★
Variations de \(f(x)=x^3-3x\).
Voir la correction
\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Croissante sur \(]-\infty,-1]\), décroissante sur \([-1,1]\), croissante sur \([1,+\infty[\).
Exercice 6 · ★★★
Variations de \(f(x)=\frac{x}{x+1}\) sur \(]-1,+\infty[\).
Voir la correction
\(f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0\) → strictement croissante.
10.7Extremums et points critiques
Un point critique est où \(f'(x)=0\). Si \(f'\) change de signe en \(x_0\) : maximum si \(+\to-\), minimum si \(-\to+\).
\(f(x)=x^2-4x\) : \(f'(x)=2x-4=0\) en \(x=2\), \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum \(f(2)=-4\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Point critique de \(f(x)=x^2\) ?
Voir la correction
\(f'(x)=2x=0\) en \(x=0\) (minimum).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=x^2-6x\). Où \(f'=0\) ?
Voir la correction
\(2x-6=0\Rightarrow x=3\).
Exercice 3 · ★★
Nature de l'extremum de \(f(x)=x^2-6x\) en \(x=3\) ?
Voir la correction
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum, \(f(3)=-9\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=-x^2+4x\). Extremum ?
Voir la correction
\(f'(x)=-2x+4=0\) en \(x=2\), \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum \(f(2)=4\).
Exercice 5 · ★★★
Extremums de \(f(x)=x^3-3x\).
Voir la correction
\(f'(x)=3(x^2-1)=0\) en \(x=\pm1\). Maximum local \(f(-1)=2\), minimum local \(f(1)=-2\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=x^3\). A-t-elle un extremum en 0 ?
Voir la correction
\(f'(x)=3x^2=0\) en 0, mais \(f'\ge0\) partout (pas de changement de signe) : pas d'extremum (point d'inflexion à tangente horizontale).
Étude des fonctions
On rassemble limites et dérivation pour étudier complètement une fonction et tracer sa courbe. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
11.1Plan d'étude d'une fonction
Étapes : (1) ensemble de définition ; (2) parité/périodicité éventuelles ; (3) limites aux bornes ; (4) dérivée et signe ; (5) tableau de variations ; (6) asymptotes ; (7) tracé.
Pour \(f(x)=x^2-4x+3\) : \(D_f=\mathbb R\), \(f'(x)=2x-4\), minimum en \(x=2\) (\(f(2)=-1\)), branches \(+\infty\) des deux côtés.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quelle est la première étape de l'étude d'une fonction ?
Voir la correction
Déterminer l'ensemble de définition \(D_f\).
Exercice 2 · ★
\(D_f\) de \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) ?
Voir la correction
\(\mathbb R\setminus\{1\}\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^2-4x+3\) : dérivée et point critique ?
Voir la correction
\(f'(x)=2x-4\), critique en \(x=2\).
Exercice 4 · ★★
Valeur du minimum de \(f(x)=x^2-4x+3\) ?
Voir la correction
\(f(2)=4-8+3=-1\).
Exercice 5 · ★★★
Étudie complètement \(f(x)=x^2-2x\) (domaine, dérivée, variations, extremum).
Voir la correction
\(D_f=\mathbb R\), \(f'(x)=2x-2=0\) en \(x=1\), décroissante sur \(]-\infty,1]\) puis croissante ; minimum \(f(1)=-1\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=x^2-4x+3\) : factorise et donne les racines (intersections avec l'axe des abscisses).
Voir la correction
\(f(x)=(x-1)(x-3)\), racines \(x=1\) et \(x=3\).
11.2Branches infinies et asymptotes
On étudie le comportement aux bornes : asymptote verticale (limite infinie en un point), horizontale (limite finie à l'infini), oblique (\(f(x)-(ax+b)\to0\)).
\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\) : verticale \(x=1\), horizontale \(y=2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Asymptote verticale de \(f(x)=\frac{1}{x-3}\) ?
Voir la correction
\(x=3\).
Exercice 2 · ★
Asymptote horizontale de \(f(x)=\frac{1}{x-3}\) ?
Voir la correction
\(y=0\).
Exercice 3 · ★★
Asymptotes de \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\).
Voir la correction
Verticale \(x=1\), horizontale \(y=2\).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x+1}\) : quel type de branche ?
Voir la correction
\(\to+\infty\) : branche infinie (ici asymptote oblique \(y=x-1\)).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(y=x-1\) est asymptote oblique de \(f(x)=\frac{x^2}{x+1}\) en \(+\infty\).
Voir la correction
\(\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}\), donc \(f(x)-(x-1)=\frac{1}{x+1}\to0\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\). Donne l'asymptote oblique.
Voir la correction
\(f(x)=x+1+\frac1x\), donc asymptote oblique \(y=x+1\).
11.3Tableau de variations
Le tableau résume : la ligne du signe de \(f'\), puis les variations de \(f\) (flèches montantes/descendantes), avec les valeurs aux points critiques et aux bornes.
\(f(x)=x^2-4x\) : \(f'<0\) sur \(]-\infty,2[\), \(f'>0\) sur \(]2,+\infty[\) ; \(f\) descend jusqu'à \(f(2)=-4\) puis monte.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f'(x)>0\) sur un intervalle. Flèche montante ou descendante ?
Voir la correction
Montante (croissante).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=x^2-4x\) : \(f'(x)\) ?
Voir la correction
\(2x-4\).
Exercice 3 · ★★
Où \(f'\) change de signe pour \(f(x)=x^2-4x\) ?
Voir la correction
En \(x=2\) (de \(-\) à \(+\)).
Exercice 4 · ★★
Dresse le tableau de \(f(x)=-x^2+2x\).
Voir la correction
\(f'(x)=-2x+2\), nul en \(x=1\) : croissante sur \(]-\infty,1]\), décroissante après ; maximum \(f(1)=1\).
Exercice 5 · ★★★
Tableau de \(f(x)=x^3-3x\).
Voir la correction
\(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) : croissante \(]-\infty,-1]\), décroissante \([-1,1]\), croissante \([1,+\infty[\) ; max local \(2\) en \(-1\), min local \(-2\) en \(1\).
Exercice 6 · ★★★
Tableau de \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\).
Voir la correction
\(f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}\) : \(>0\) si \(x<0\), \(<0\) si \(x>0\). Maximum \(f(0)=1\).
11.4Concavité et points d'inflexion
Avec la dérivée seconde \(f''\) : \(f''>0\) → courbe convexe (tournée vers le haut) ; \(f''<0\) → concave. Un point d'inflexion est où \(f''\) change de signe.
\(f(x)=x^3\) : \(f''(x)=6x\), change de signe en 0 → point d'inflexion en \((0,0)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x^2\) : donne \(f''\).
Voir la correction
\(f'(x)=2x\), \(f''(x)=2\).
Exercice 2 · ★
\(f''=2>0\) : courbe convexe ou concave ?
Voir la correction
Convexe.
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^3\) : donne \(f''\) et le point d'inflexion.
Voir la correction
\(f''(x)=6x\), inflexion en \(x=0\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=-x^2\) : convexe ou concave ?
Voir la correction
\(f''=-2<0\) → concave.
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=x^3-3x^2\) : trouve le point d'inflexion.
Voir la correction
\(f''(x)=6x-6=0\) en \(x=1\), change de signe → inflexion en \(x=1\), \(f(1)=-2\).
Exercice 6 · ★★★
Étudie la convexité de \(f(x)=x^4\).
Voir la correction
\(f''(x)=12x^2\ge0\) partout → toujours convexe (pas d'inflexion, car pas de changement de signe).
11.5Représentation graphique
On place : les points remarquables (extremums, intersections avec les axes), les asymptotes, et on suit le tableau de variations pour tracer la courbe.
\(f(x)=x^2-4x+3\) : sommet \((2,-1)\), passe par \((1,0)\), \((3,0)\) et \((0,3)\) ; parabole tournée vers le haut.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Intersection de \(f(x)=x^2-4x+3\) avec l'axe \((Oy)\) ?
Voir la correction
\(f(0)=3\), point \((0,3)\).
Exercice 2 · ★
Coordonnées du sommet de \(f(x)=x^2-4x+3\) ?
Voir la correction
\((2,-1)\).
Exercice 3 · ★★
Intersections de \(f(x)=x^2-4x+3\) avec \((Ox)\) ?
Voir la correction
\((1,0)\) et \((3,0)\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=\frac1x\) : décris l'allure (deux branches).
Voir la correction
Hyperbole : branche dans le quadrant \(x>0,y>0\) et branche dans \(x<0,y<0\), asymptotes \(x=0\) et \(y=0\).
Exercice 5 · ★★★
Points remarquables de \(f(x)=x^3-3x\) à placer.
Voir la correction
Max local \((-1,2)\), min local \((1,-2)\), passe par \((0,0)\), \((\sqrt3,0)\), \((-\sqrt3,0)\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\) : quels éléments tracer en priorité ?
Voir la correction
Les asymptotes \(x=1\) et \(y=2\), puis quelques points (ex. \(f(0)=-1\), \(f(2)=5\)) pour orienter les deux branches.
11.6Étude de fonctions particulières
On applique le plan d'étude aux fonctions rationnelles (\(\frac{P}{Q}\)), irrationnelles (avec racines) et trigonométriques (en exploitant la périodicité).
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) : \(D_f=\mathbb R\), \(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\), minimum \(f(0)=1\), branches vers \(+\infty\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(D_f\) de \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) ?
Voir la correction
\(\mathbb R\) (\(x^2+1>0\) toujours).
Exercice 2 · ★
Période à exploiter pour étudier \(f(x)=\sin x\) ?
Voir la correction
\(2\pi\) : on étudie sur \([0,2\pi]\) (ou \([-\pi,\pi]\)).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).
Exercice 4 · ★★
Minimum de \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) ?
Voir la correction
\(f'\) s'annule en \(x=0\) (passe de \(-\) à \(+\)) → minimum \(f(0)=1\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x}\) : domaine et parité.
Voir la correction
\(D_f=\mathbb R^*\) ; \(f(-x)=\frac{x^2-1}{-x}=-f(x)\) → impaire.
Exercice 6 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=\frac{x^2-1}{x}\) et signe.
Voir la correction
\(f(x)=x-\frac1x\), \(f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0\) → strictement croissante sur chaque intervalle de \(D_f\).
Vecteurs de l'espace
On passe du plan à l'espace à trois dimensions. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
12.1L'espace : points, droites, plans
L'espace contient des points, des droites et des plans. Par deux points passe une droite ; par trois points non alignés passe un unique plan. Deux plans peuvent être sécants (selon une droite) ou parallèles.
Dans un cube \(ABCDEFGH\) : \((AB)\) et \((CD)\) sont coplanaires ; \((AB)\) et \((HG)\) sont parallèles ; \((AB)\) et \((CG)\) ne se coupent pas et ne sont pas parallèles → non coplanaires.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Combien de points faut-il pour définir un plan (en général) ?
Voir la correction
Trois points non alignés.
Exercice 2 · ★
Par combien de points passe une droite ?
Voir la correction
Deux points distincts.
Exercice 3 · ★★
Deux plans non parallèles se coupent selon quoi ?
Voir la correction
Une droite.
Exercice 4 · ★★
Dans un cube, \((AB)\) et \((EF)\) sont-elles parallèles ?
Voir la correction
Oui (arêtes opposées d'une même face / faces parallèles).
Exercice 5 · ★★★
Deux droites de l'espace qui ne se coupent pas sont-elles forcément parallèles ?
Voir la correction
Non : elles peuvent être non coplanaires (gauches), comme \((AB)\) et \((CG)\) dans un cube.
Exercice 6 · ★★★
Une droite et un plan : quelles positions relatives possibles ?
Voir la correction
La droite est incluse dans le plan, parallèle au plan, ou le coupe en un point.
12.2Vecteurs de l'espace et opérations
Comme dans le plan : addition, multiplication par un réel, relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Les règles algébriques sont identiques, mais en 3 dimensions.
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec0\) (Chasles).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Simplifie \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AC}\).
Exercice 2 · ★
Que vaut \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\) ?
Voir la correction
\(\vec0\).
Exercice 3 · ★★
Simplifie \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AD}\).
Exercice 4 · ★★
Exprime \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) si \(ABCD\) est un parallélogramme.
Voir la correction
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) (diagonale).
Exercice 5 · ★★★
Simplifie \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\) (\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)).
Exercice 6 · ★★★
\(I\) milieu de \([AB]\). Exprime \(\overrightarrow{AI}\) puis \(\overrightarrow{MI}\) en fonction de \(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{MI}=\frac12(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\).
12.3Colinéarité et coplanarité
\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\). Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\).
\(\vec u(1,2,3)\) et \(\vec v(2,4,6)\) : \(\vec v=2\vec u\) → colinéaires.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\vec u(1,0,2)\), \(\vec v(2,0,4)\) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction
Oui, \(\vec v=2\vec u\).
Exercice 2 · ★
\(\vec u(1,1,1)\), \(\vec v(1,2,1)\) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction
Non (pas de \(k\) commun : \(1=k\), mais \(2\ne k\cdot1\)).
Exercice 3 · ★★
Pour quel \(t\), \(\vec u(2,t,6)\) est colinéaire à \(\vec v(1,2,3)\) ?
Voir la correction
\(\vec u=2\vec v\Rightarrow t=2\cdot2=4\).
Exercice 4 · ★★
\(\vec w=\vec u+\vec v\). Les trois vecteurs sont-ils coplanaires ?
Voir la correction
Oui : \(\vec w\) est combinaison linéaire de \(\vec u,\vec v\).
Exercice 5 · ★★★
\(\vec u(1,0,0)\), \(\vec v(0,1,0)\), \(\vec w(0,0,1)\) sont-ils coplanaires ?
Voir la correction
Non : aucun n'est combinaison des deux autres (ils forment une base de l'espace).
Exercice 6 · ★★★
\(\vec w(3,5,0)\) est-il coplanaire avec \(\vec u(1,0,0)\) et \(\vec v(0,1,0)\) ?
Voir la correction
Oui : \(\vec w=3\vec u+5\vec v\) (combinaison linéaire), donc coplanaires.
12.4Repère de l'espace, coordonnées
Un repère \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) permet de repérer tout point par un triplet \((x,y,z)\). \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)\).
\(A(1,2,3)\), \(B(4,0,5)\) : \(\overrightarrow{AB}(3,-2,2)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(A(0,0,0)\), \(B(2,3,4)\). Donne \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la correction
\((2,3,4)\).
Exercice 2 · ★
\(A(1,1,1)\), \(B(2,3,5)\). Donne \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la correction
\((1,2,4)\).
Exercice 3 · ★★
Milieu de \([AB]\) avec \(A(1,2,3)\), \(B(3,4,5)\) ?
Voir la correction
\((2,3,4)\) (moyenne des coordonnées).
Exercice 4 · ★★
\(A(1,0,2)\), \(B(4,-2,6)\). Donne \(\overrightarrow{AB}\).
Voir la correction
\((3,-2,4)\).
Exercice 5 · ★★★
\(A(1,1,1)\), \(\overrightarrow{AB}(2,0,-1)\). Trouve \(B\).
Voir la correction
\(B=A+\overrightarrow{AB}=(3,1,0)\).
Exercice 6 · ★★★
\(ABCD\) parallélogramme, \(A(0,0,0)\), \(B(2,1,0)\), \(D(0,3,1)\). Trouve \(C\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2,4,1)\), donc \(C=(2,4,1)\).
12.5Décomposition d'un vecteur
Dans une base \((\vec i,\vec j,\vec k)\), tout vecteur s'écrit de façon unique \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\). Les réels \(x,y,z\) sont ses coordonnées.
\(\vec u(2,-1,3)=2\vec i-\vec j+3\vec k\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Écris \(\vec u(1,2,3)\) dans la base \((\vec i,\vec j,\vec k)\).
Voir la correction
\(\vec i+2\vec j+3\vec k\).
Exercice 2 · ★
Coordonnées de \(\vec u=3\vec i-\vec k\) ?
Voir la correction
\((3,0,-1)\).
Exercice 3 · ★★
\(\vec u(1,2,0)\), \(\vec v(0,1,3)\). Donne \(2\vec u+\vec v\).
Voir la correction
\((2,5,3)\).
Exercice 4 · ★★
\(\vec u(2,4,6)\). Écris-le comme \(k\) fois un vecteur simple.
Voir la correction
\(\vec u=2(1,2,3)\).
Exercice 5 · ★★★
Décompose \(\overrightarrow{AB}\) avec \(A(1,0,2)\), \(B(3,3,2)\) dans la base.
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(2,3,0)=2\vec i+3\vec j\).
Exercice 6 · ★★★
Trouve \(a,b\) tels que \((4,7,0)=a(1,1,0)+b(2,3,0)\).
Voir la correction
\(a+2b=4\) et \(a+3b=7\) → \(b=3\), \(a=-2\).
Géométrie analytique dans l'espace
On décrit droites et plans par des équations. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
13.1Repérage dans l'espace
Un point est repéré par \((x,y,z)\). La distance entre \(A\) et \(B\) est \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
\(A(1,0,0)\), \(B(1,2,2)\) : \(AB=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Distance de \(O(0,0,0)\) à \(A(2,0,0)\) ?
Voir la correction
\(2\).
Exercice 2 · ★
Distance de \(O\) à \(A(0,3,4)\) ?
Voir la correction
\(\sqrt{0+9+16}=5\).
Exercice 3 · ★★
\(A(1,2,3)\), \(B(1,2,5)\). Donne \(AB\).
Voir la correction
\(\sqrt{0+0+4}=2\).
Exercice 4 · ★★
\(A(1,0,0)\), \(B(1,2,2)\). Donne \(AB\).
Voir la correction
\(\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2\).
Exercice 5 · ★★★
\(A(2,1,3)\), \(B(4,5,3)\). Donne \(AB\) et le milieu.
Voir la correction
\(AB=\sqrt{4+16+0}=2\sqrt5\) ; milieu \((3,3,3)\).
Exercice 6 · ★★★
Le triangle \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(C(0,2,0)\) est-il isocèle ?
Voir la correction
\(AB=2\), \(AC=2\), \(BC=2\sqrt2\). Isocèle (et rectangle en \(A\)).
13.2Représentation paramétrique d'une droite
La droite passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) de vecteur directeur \(\vec u(a,b,c)\) : \(\begin{cases}x=x_A+ta\\y=y_A+tb\\z=z_A+tc\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
\(A(1,0,2)\), \(\vec u(2,1,-1)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=2-t\end{cases}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Donne un vecteur directeur de la droite \(\begin{cases}x=1+3t\\y=2t\\z=5-t\end{cases}\).
Voir la correction
\(\vec u(3,2,-1)\).
Exercice 2 · ★
Donne un point de cette droite (\(t=0\)).
Voir la correction
\((1,0,5)\).
Exercice 3 · ★★
Écris la représentation paramétrique de la droite par \(A(0,1,2)\), \(\vec u(1,1,1)\).
Voir la correction
\(\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}\).
Exercice 4 · ★★
Le point \((3,2,5)\) est-il sur \(\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=3+t\end{cases}\) ?
Voir la correction
\(x=3\Rightarrow t=2\) ; alors \(y=2\) ✓, \(z=5\) ✓. Oui.
Exercice 5 · ★★★
Droite passant par \(A(1,2,3)\) et \(B(4,2,0)\) : représentation paramétrique.
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(3,0,-3)\) directeur : \(\begin{cases}x=1+3t\\y=2\\z=3-3t\end{cases}\).
Exercice 6 · ★★★
Le point \((7,2,-3)\) est-il sur la droite de l'exercice 5 ?
Voir la correction
\(x=7\Rightarrow t=2\) ; \(y=2\) ✓ ; \(z=3-6=-3\) ✓. Oui.
13.3Équation cartésienne d'un plan
Un plan a une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\), où \(\vec n(a,b,c)\) est un vecteur normal au plan.
Le plan \(2x-y+3z-5=0\) a pour vecteur normal \(\vec n(2,-1,3)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Vecteur normal du plan \(x+2y+3z-1=0\) ?
Voir la correction
\(\vec n(1,2,3)\).
Exercice 2 · ★
Le point \((1,0,0)\) est-il sur \(x+2y+3z-1=0\) ?
Voir la correction
\(1+0+0-1=0\) ✓ : oui.
Exercice 3 · ★★
Équation du plan de vecteur normal \(\vec n(1,1,1)\) passant par \(O\) ?
Voir la correction
\(x+y+z=0\).
Exercice 4 · ★★
Équation du plan de normal \(\vec n(2,0,1)\) passant par \(A(1,3,0)\).
Voir la correction
\(2(x-1)+0+1(z-0)=0\Rightarrow 2x+z-2=0\).
Exercice 5 · ★★★
Le plan \(P:\ x-y+2z=4\). Donne deux points de \(P\).
Voir la correction
Ex. \((4,0,0)\) et \((0,0,2)\) (vérifient l'équation).
Exercice 6 · ★★★
Plan passant par \(A(1,0,0)\), de normal \(\overrightarrow{AB}\) avec \(B(3,2,0)\).
Voir la correction
\(\vec n=\overrightarrow{AB}(2,2,0)\) : \(2(x-1)+2y=0\Rightarrow x+y-1=0\).
13.4Positions relatives
Deux plans sont parallèles si leurs normaux sont colinéaires (sinon sécants selon une droite). Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est orthogonal au normal du plan.
\(P:\ x+y+z=1\) et \(Q:\ 2x+2y+2z=5\) : normaux \((1,1,1)\) et \((2,2,2)\) colinéaires → parallèles.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Les plans \(x+y+z=0\) et \(2x+2y+2z=3\) sont-ils parallèles ?
Voir la correction
Oui (normaux colinéaires).
Exercice 2 · ★
Et \(x+y+z=0\) et \(x-y+z=1\) ?
Voir la correction
Normaux \((1,1,1)\) et \((1,-1,1)\) non colinéaires → sécants.
Exercice 3 · ★★
La droite de directeur \(\vec u(1,-1,0)\) est-elle parallèle au plan \(x+y+z=0\) ?
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec n=1-1+0=0\) → \(\vec u\perp\vec n\), donc droite parallèle au plan (ou incluse).
Exercice 4 · ★★
La droite de directeur \(\vec u(1,1,1)\) et le plan \(x+y+z=0\).
Voir la correction
\(\vec u=\vec n\) → la droite est perpendiculaire au plan (elle le coupe).
Exercice 5 · ★★★
Deux plans \(P:\ 2x-y+z=1\) et \(Q:\ -4x+2y-2z=3\). Position ?
Voir la correction
Normaux \((2,-1,1)\) et \((-4,2,-2)=-2(2,-1,1)\) colinéaires → parallèles (et distincts, donc strictement parallèles).
Exercice 6 · ★★★
La droite \(\begin{cases}x=t\\y=t\\z=-2t\end{cases}\) est-elle parallèle au plan \(x+y+z=5\) ?
Voir la correction
\(\vec u(1,1,-2)\), \(\vec n(1,1,1)\), \(\vec u\cdot\vec n=1+1-2=0\) → parallèle au plan.
13.5Intersections
Pour l'intersection droite/plan : on remplace \(x,y,z\) de la droite (en \(t\)) dans l'équation du plan, on résout en \(t\), puis on calcule le point.
Droite \(\begin{cases}x=t\\y=t\\z=t\end{cases}\) et plan \(x+y+z=3\) : \(3t=3\Rightarrow t=1\), point \((1,1,1)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Droite \(x=t,y=0,z=0\) et plan \(x=2\) : intersection ?
Voir la correction
\(t=2\) → point \((2,0,0)\).
Exercice 2 · ★
Droite \(x=t,y=t,z=t\) et plan \(z=5\) : intersection ?
Voir la correction
\(t=5\) → \((5,5,5)\).
Exercice 3 · ★★
Droite \(x=t,y=t,z=t\) et plan \(x+y+z=3\).
Voir la correction
\(3t=3\Rightarrow t=1\) → \((1,1,1)\).
Exercice 4 · ★★
Droite \(\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=2\end{cases}\) et plan \(x+y=4\).
Voir la correction
\((1+t)+t=4\Rightarrow t=1{,}5\) → \((2{,}5\,;1{,}5\,;2)\).
Exercice 5 · ★★★
Droite \(\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2-t\end{cases}\) et plan \(2x-y+z=5\).
Voir la correction
\(2t-(1+t)+(2-t)=5\Rightarrow 1=5\) : impossible → la droite est parallèle au plan (pas d'intersection).
Exercice 6 · ★★★
Droite \(\begin{cases}x=2t\\y=t\\z=t\end{cases}\) et plan \(x-y-z=0\). Que se passe-t-il ?
Voir la correction
\(2t-t-t=0\) → \(0=0\) pour tout \(t\) : la droite est incluse dans le plan.
Le produit scalaire dans l'espace
L'extension du produit scalaire à trois dimensions, clé des questions d'orthogonalité et de distance. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
14.1Définition et expressions
Comme dans le plan : \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\), et \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\). Les propriétés (symétrie, bilinéarité) sont identiques.
\(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=3\), \(\theta=\frac\pi3\) : \(\vec u\cdot\vec v=6\cdot\frac12=3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=4\), \(\theta=\frac\pi2\). \(\vec u\cdot\vec v\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
\(\vec u\cdot\vec u\) si \(\|\vec u\|=5\) ?
Voir la correction
\(25\).
Exercice 3 · ★★
\(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=5\), \(\theta=\frac\pi3\). \(\vec u\cdot\vec v\) ?
Voir la correction
\(10\cdot\frac12=5\).
Exercice 4 · ★★
\(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\), \(\theta=\frac{2\pi}{3}\). \(\vec u\cdot\vec v\) ?
Voir la correction
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\).
Exercice 5 · ★★★
\(\vec u\cdot\vec v=-6\), \(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=4\). Trouve \(\theta\).
Voir la correction
\(\cos\theta=\frac{-6}{12}=-\frac12\Rightarrow\theta=\frac{2\pi}{3}\).
Exercice 6 · ★★★
\(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=3\), \(\vec u\cdot\vec v=3\). Calcule \(\|\vec u+\vec v\|\).
Voir la correction
\(\|\vec u+\vec v\|^2=4+6+9=19\Rightarrow\sqrt{19}\).
14.2Expression analytique
Repère orthonormé : \(\vec u(x,y,z)\cdot\vec v(x',y',z')=xx'+yy'+zz'\) et \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).
\(\vec u(1,2,3)\), \(\vec v(4,0,-1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=4+0-3=1\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\vec u(1,0,0)\), \(\vec v(0,1,0)\). \(\vec u\cdot\vec v\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
\(\|\vec u\|\) pour \(\vec u(2,3,6)\) ?
Voir la correction
\(\sqrt{4+9+36}=7\).
Exercice 3 · ★★
\(\vec u(1,2,3)\), \(\vec v(4,0,-1)\). \(\vec u\cdot\vec v\) ?
Voir la correction
\(4+0-3=1\).
Exercice 4 · ★★
\(A(1,0,0)\), \(B(1,2,2)\). \(\|\overrightarrow{AB}\|\) ?
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(0,2,2)\), \(\|\cdot\|=2\sqrt2\).
Exercice 5 · ★★★
\(\vec u(1,1,0)\), \(\vec v(1,0,1)\). Donne \(\cos\theta\).
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec v=1\), \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=\sqrt2\), \(\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac\pi3\).
Exercice 6 · ★★★
\(\vec u(t,1,2)\), \(\vec v(2,-1,1)\) tels que \(\vec u\cdot\vec v=3\). Trouve \(t\).
Voir la correction
\(2t-1+2=3\Rightarrow t=1\).
14.3Orthogonalité dans l'espace
\(\vec u\perp\vec v\Leftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0\), soit \(xx'+yy'+zz'=0\).
\(\vec u(1,1,1)\), \(\vec v(1,-2,1)\) : \(1-2+1=0\) → orthogonaux.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\vec u(1,0,0)\), \(\vec v(0,0,5)\) orthogonaux ?
Voir la correction
\(0\) → oui.
Exercice 2 · ★
\(\vec u(1,1,0)\), \(\vec v(1,-1,0)\) ?
Voir la correction
\(1-1+0=0\) → orthogonaux.
Exercice 3 · ★★
Pour quel \(t\), \(\vec u(1,t,2)\perp\vec v(3,-1,1)\) ?
Voir la correction
\(3-t+2=0\Rightarrow t=5\).
Exercice 4 · ★★
\(\vec u(2,-1,3)\), \(\vec v(1,2,0)\) orthogonaux ?
Voir la correction
\(2-2+0=0\) → oui.
Exercice 5 · ★★★
\(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\). \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) ?
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(-1,1,0)\), \(\overrightarrow{AC}(-1,0,1)\) : produit \(1+0+0=1\ne0\) → non orthogonaux.
Exercice 6 · ★★★
Trouve un vecteur orthogonal à la fois à \(\vec u(1,0,0)\) et \(\vec v(0,1,0)\).
Voir la correction
\(\vec w(0,0,1)\) : \(\vec w\cdot\vec u=0\) et \(\vec w\cdot\vec v=0\).
14.4Vecteur normal à un plan
Un vecteur normal \(\vec n\) à un plan est orthogonal à tous les vecteurs du plan. Dans \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a,b,c)\).
Plan \(3x-y+2z+1=0\) : \(\vec n(3,-1,2)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Normal du plan \(x+y+z=0\) ?
Voir la correction
\(\vec n(1,1,1)\).
Exercice 2 · ★
Normal du plan \(2x-3z=5\) ?
Voir la correction
\(\vec n(2,0,-3)\).
Exercice 3 · ★★
Équation du plan de normal \(\vec n(1,2,2)\) passant par \(O\).
Voir la correction
\(x+2y+2z=0\).
Exercice 4 · ★★
Plan de normal \(\vec n(0,0,1)\) par \(A(0,0,3)\).
Voir la correction
\(z-3=0\), soit \(z=3\) (plan horizontal).
Exercice 5 · ★★★
Plan passant par \(A(1,1,1)\) de normal \(\vec n(2,-1,3)\).
Voir la correction
\(2(x-1)-(y-1)+3(z-1)=0\Rightarrow 2x-y+3z-4=0\).
Exercice 6 · ★★★
Plan contenant \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(0,1,0)\) : trouve un normal et l'équation.
Voir la correction
Le plan est \(z=0\), de normal \(\vec n(0,0,1)\).
14.5Applications : distances, sphères
Distance d'un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) : \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\), rayon \(R\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\).
Distance de \(O\) au plan \(x+y+z-3=0\) : \(\frac{|-3|}{\sqrt3}=\sqrt3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Équation de la sphère de centre \(O\), rayon 5.
Voir la correction
\(x^2+y^2+z^2=25\).
Exercice 2 · ★
Centre et rayon de \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16\) ?
Voir la correction
Centre \((1,2,3)\), rayon \(4\).
Exercice 3 · ★★
Distance de \(O\) au plan \(x+y+z-3=0\) ?
Voir la correction
\(\frac{|-3|}{\sqrt3}=\sqrt3\).
Exercice 4 · ★★
Distance de \(A(1,1,1)\) au plan \(2x-y+2z=0\).
Voir la correction
\(\frac{|2-1+2|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{3}{3}=1\).
Exercice 5 · ★★★
Sphère de centre \(\Omega(1,0,2)\) passant par \(O\) : équation.
Voir la correction
\(R=\Omega O=\sqrt{1+0+4}=\sqrt5\), donc \((x-1)^2+y^2+(z-2)^2=5\).
Exercice 6 · ★★★
Le plan \(x+y+z=3\) est-il tangent à la sphère de centre \(O\) rayon \(\sqrt3\) ?
Voir la correction
Distance de \(O\) au plan \(=\sqrt3=R\) → oui, le plan est tangent à la sphère.
Dénombrement
L'art de compter les possibilités : la base des probabilités. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
15.1Cardinal d'un ensemble fini
Le cardinal \(\mathrm{card}(E)\) (ou \(|E|\)) est le nombre d'éléments de \(E\). \(\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)\).
\(|\{1,2,3,4\}|=4\). Si \(|A|=10\), \(|B|=8\), \(|A\cap B|=3\), alors \(|A\cup B|=15\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\mathrm{card}(\{a,b,c,d,e\})\) ?
Voir la correction
\(5\).
Exercice 2 · ★
\(\mathrm{card}(\varnothing)\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 3 · ★★
\(|A|=12\), \(|B|=7\), \(|A\cap B|=4\). Donne \(|A\cup B|\).
Voir la correction
\(12+7-4=15\).
Exercice 4 · ★★
30 élèves : 18 font de l'anglais, 15 de l'espagnol, 7 les deux. Combien font au moins une langue ?
Voir la correction
\(18+15-7=26\).
Exercice 5 · ★★★
Dans l'exercice 4, combien ne font aucune des deux ?
Voir la correction
\(30-26=4\).
Exercice 6 · ★★★
\(|A\cup B|=20\), \(|A|=12\), \(|B|=15\). Donne \(|A\cap B|\).
Voir la correction
\(|A\cap B|=12+15-20=7\).
15.2Principes additif et multiplicatif
Additif : pour des choix exclusifs (« ou »), on additionne. Multiplicatif : pour des choix successifs (« et », « puis »), on multiplie.
Un menu avec 3 entrées et 4 plats : \(3\times4=12\) repas possibles (multiplicatif).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
2 chemises et 3 pantalons : combien de tenues ?
Voir la correction
\(2\times3=6\).
Exercice 2 · ★
5 garçons OU 4 filles à choisir comme délégué : combien de choix ?
Voir la correction
\(5+4=9\) (additif).
Exercice 3 · ★★
Plaque à 2 lettres puis 3 chiffres (26 lettres, 10 chiffres) : combien ?
Voir la correction
\(26^2\times10^3=676\,000\).
Exercice 4 · ★★
Code à 4 chiffres (0–9, répétitions permises) : combien ?
Voir la correction
\(10^4=10\,000\).
Exercice 5 · ★★★
Nombres à 3 chiffres (premier chiffre \(\ne0\)) : combien ?
Voir la correction
\(9\times10\times10=900\).
Exercice 6 · ★★★
Mots de 3 lettres distinctes avec A,B,C,D : combien ?
Voir la correction
\(4\times3\times2=24\) (sans répétition).
15.3Arrangements et permutations
Arrangement de \(p\) parmi \(n\) (ordre compte, sans répétition) : \(A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}\). Permutation de \(n\) objets : \(n!\).
\(A_5^2=\frac{5!}{3!}=20\) ; permutations de 4 objets : \(4!=24\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Calcule \(4!\).
Voir la correction
\(24\).
Exercice 2 · ★
Calcule \(A_5^2\).
Voir la correction
\(5\times4=20\).
Exercice 3 · ★★
De combien de façons ranger 5 livres sur une étagère ?
Voir la correction
\(5!=120\).
Exercice 4 · ★★
Podium (or, argent, bronze) parmi 8 athlètes : combien ?
Voir la correction
\(A_8^3=8\times7\times6=336\).
Exercice 5 · ★★★
Anagrammes du mot « MATH » (4 lettres distinctes) ?
Voir la correction
\(4!=24\).
Exercice 6 · ★★★
Mots de 3 lettres distinctes parmi les 26 : combien ?
Voir la correction
\(A_{26}^3=26\times25\times24=15\,600\).
15.4Combinaisons
Une combinaison de \(p\) parmi \(n\) (ordre ne compte pas) : \(\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}\).
\(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\) (choisir 2 personnes parmi 5).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Calcule \(\binom{4}{1}\).
Voir la correction
\(4\).
Exercice 2 · ★
Calcule \(\binom{5}{0}\) et \(\binom{5}{5}\).
Voir la correction
\(1\) et \(1\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\binom{6}{2}\).
Voir la correction
\(\frac{6\times5}{2}=15\).
Exercice 4 · ★★
Combien de mains de 5 cartes parmi 52 ? (forme, pas la valeur)
Voir la correction
\(\binom{52}{5}\) (l'ordre ne compte pas).
Exercice 5 · ★★★
Un comité de 3 personnes parmi 10 : combien ?
Voir la correction
\(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{6}=120\).
Exercice 6 · ★★★
Parmi 7 femmes et 5 hommes, un comité de 2 femmes et 2 hommes : combien ?
Voir la correction
\(\binom{7}{2}\times\binom{5}{2}=21\times10=210\).
15.5Triangle de Pascal et binôme de Newton
Symétrie \(\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}\) ; Pascal \(\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}\) ; Binôme \((a+b)^n=\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^{n-p}b^p\).
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) (coefficients \(1,2,1\)) ; \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Donne \(\binom{7}{5}\) en utilisant la symétrie.
Voir la correction
\(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\).
Exercice 2 · ★
Coefficients de \((a+b)^2\) ?
Voir la correction
\(1,2,1\).
Exercice 3 · ★★
Développe \((a+b)^3\).
Voir la correction
\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Exercice 4 · ★★
Vérifie Pascal : \(\binom{4}{1}+\binom{4}{2}=\binom{5}{2}\) ?
Voir la correction
\(4+6=10=\binom{5}{2}\) ✓.
Exercice 5 · ★★★
Développe \((x+2)^3\).
Voir la correction
\(x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot4+8=x^3+6x^2+12x+8\).
Exercice 6 · ★★★
Quel est le coefficient de \(a^2b^3\) dans \((a+b)^5\) ?
Voir la correction
\(\binom{5}{3}=10\) (terme \(\binom{5}{3}a^2b^3\)).
Arithmétique dans ℤ
L'étude des entiers : divisibilité, division euclidienne, PGCD/PPCM, nombres premiers et congruences. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
16.1Divisibilité dans ℤ
\(a\) divise \(b\) (noté \(a\mid b\)) s'il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que \(b=ka\). Propriétés : si \(a\mid b\) et \(a\mid c\), alors \(a\mid(b+c)\) et \(a\mid(bc)\).
\(3\mid12\) car \(12=3\times4\). \(5\nmid12\). Les diviseurs de 12 : \(\{1,2,3,4,6,12\}\) (et leurs opposés dans \(\mathbb Z\)).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Est-ce que \(4\mid20\) ?
Voir la correction
Oui, \(20=4\times5\).
Exercice 2 · ★
Liste les diviseurs positifs de 18.
Voir la correction
\(1,2,3,6,9,18\).
Exercice 3 · ★★
Si \(7\mid a\) et \(7\mid b\), \(7\) divise-t-il \(3a-2b\) ?
Voir la correction
Oui : combinaison linéaire de multiples de 7.
Exercice 4 · ★★
Combien 36 a-t-il de diviseurs positifs ?
Voir la correction
\(36=2^2\cdot3^2\), donc \((2+1)(2+1)=9\) diviseurs.
Exercice 5 · ★★★
Montre que si \(n\mid(n+6)\), alors \(n\mid6\).
Voir la correction
\(n\mid(n+6)\) et \(n\mid n\), donc \(n\mid((n+6)-n)=6\).
Exercice 6 · ★★★
Trouve tous les entiers \(n>0\) tels que \(n\mid12\) et \(n\mid18\).
Voir la correction
Diviseurs communs : \(1,2,3,6\) (ce sont les diviseurs de \(\mathrm{PGCD}(12,18)=6\)).
16.2Division euclidienne
Pour \(a\in\mathbb Z\) et \(b\in\mathbb N^*\), il existe un unique couple \((q,r)\) avec \(a=bq+r\) et \(0\le r
\(17=5\times3+2\) : quotient 3, reste 2.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Division euclidienne de 23 par 4.
Voir la correction
\(23=4\times5+3\) : \(q=5\), \(r=3\).
Exercice 2 · ★
Reste de 30 par 7 ?
Voir la correction
\(30=7\times4+2\) → reste 2.
Exercice 3 · ★★
Quotient et reste de 100 par 13.
Voir la correction
\(100=13\times7+9\) : \(q=7\), \(r=9\).
Exercice 4 · ★★
Division euclidienne de \(-17\) par 5 (attention \(0\le r<5\)).
Voir la correction
\(-17=5\times(-4)+3\) : \(q=-4\), \(r=3\).
Exercice 5 · ★★★
Quels sont les restes possibles d'un entier par 3 ?
Voir la correction
\(0\), \(1\) ou \(2\).
Exercice 6 · ★★★
Un nombre a pour reste 2 dans la division par 5. Quel est le reste de son double par 5 ?
Voir la correction
\(n=5q+2\Rightarrow2n=10q+4\), reste \(4\).
16.3PGCD et algorithme d'Euclide
Le PGCD est le plus grand diviseur commun. Algorithme d'Euclide : \(\mathrm{PGCD}(a,b)=\mathrm{PGCD}(b,r)\) où \(r\) est le reste de \(a\) par \(b\), jusqu'à reste nul.
\(\mathrm{PGCD}(48,18)\) : \(48=18\times2+12\), \(18=12\times1+6\), \(12=6\times2+0\) → PGCD \(=6\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\mathrm{PGCD}(12,8)\) ?
Voir la correction
\(4\).
Exercice 2 · ★
\(\mathrm{PGCD}(15,5)\) ?
Voir la correction
\(5\).
Exercice 3 · ★★
\(\mathrm{PGCD}(48,18)\) par l'algorithme d'Euclide.
Voir la correction
\(48\to18\to12\to6\to0\) : PGCD \(=6\).
Exercice 4 · ★★
\(\mathrm{PGCD}(56,42)\) ?
Voir la correction
\(56=42+14\), \(42=14\times3\) → PGCD \(=14\).
Exercice 5 · ★★★
\(\mathrm{PGCD}(1071,462)\) par Euclide.
Voir la correction
\(1071=462\times2+147\), \(462=147\times3+21\), \(147=21\times7+0\) → PGCD \(=21\).
Exercice 6 · ★★★
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. \(14\) et \(15\) le sont-ils ?
Voir la correction
\(\mathrm{PGCD}(14,15)=1\) → oui, premiers entre eux.
16.4PPCM
Le PPCM est le plus petit multiple commun strictement positif. Relation clé : \(\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=a\times b\).
\(\mathrm{PPCM}(12,18)=\frac{12\times18}{6}=36\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\mathrm{PPCM}(2,3)\) ?
Voir la correction
\(6\).
Exercice 2 · ★
\(\mathrm{PPCM}(4,6)\) ?
Voir la correction
\(12\).
Exercice 3 · ★★
\(\mathrm{PPCM}(12,18)\) via la relation avec le PGCD.
Voir la correction
\(\frac{12\times18}{\mathrm{PGCD}=6}=36\).
Exercice 4 · ★★
\(\mathrm{PPCM}(8,12)\) ?
Voir la correction
PGCD \(=4\), donc \(\frac{8\times12}{4}=24\).
Exercice 5 · ★★★
Si \(a,b\) premiers entre eux, que vaut \(\mathrm{PPCM}(a,b)\) ?
Voir la correction
\(\mathrm{PPCM}=a\times b\) (puisque PGCD \(=1\)).
Exercice 6 · ★★★
Deux feux clignotent toutes les 12 s et 18 s. Au bout de combien de temps clignotent-ils ensemble ?
Voir la correction
\(\mathrm{PPCM}(12,18)=36\) secondes.
16.5Nombres premiers et décomposition
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Tout entier \(\ge2\) se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
\(360=2^3\times3^2\times5\). Les premiers \(<20\) : \(2,3,5,7,11,13,17,19\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
17 est-il premier ?
Voir la correction
Oui (divisible seulement par 1 et 17).
Exercice 2 · ★
1 est-il premier ?
Voir la correction
Non (il n'a qu'un seul diviseur).
Exercice 3 · ★★
Décompose 60 en facteurs premiers.
Voir la correction
\(60=2^2\times3\times5\).
Exercice 4 · ★★
Décompose 84.
Voir la correction
\(84=2^2\times3\times7\).
Exercice 5 · ★★★
Utilise les décompositions de 12 et 18 pour retrouver leur PGCD et PPCM.
Voir la correction
\(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\). PGCD \(=2\cdot3=6\) (min des exposants), PPCM \(=2^2\cdot3^2=36\) (max).
Exercice 6 · ★★★
91 est-il premier ?
Voir la correction
Non : \(91=7\times13\).
16.6Congruences
\(a\equiv b\ [n]\) (\(a\) congru à \(b\) modulo \(n\)) si \(n\mid(a-b)\), c.-à-d. \(a\) et \(b\) ont le même reste par \(n\). Les congruences se compatible avec l'addition et la multiplication.
\(17\equiv2\ [5]\) (même reste 2). \(17\equiv5\ [12]\) car \(17-5=12\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(13\equiv\ ?\ [5]\) (donne le reste).
Voir la correction
\(13\equiv3\ [5]\).
Exercice 2 · ★
\(20\equiv\ ?\ [6]\) ?
Voir la correction
\(20\equiv2\ [6]\).
Exercice 3 · ★★
Si \(a\equiv3\ [7]\) et \(b\equiv5\ [7]\), que vaut \(a+b\ [7]\) ?
Voir la correction
\(a+b\equiv8\equiv1\ [7]\).
Exercice 4 · ★★
Mêmes données : \(ab\ [7]\) ?
Voir la correction
\(ab\equiv15\equiv1\ [7]\).
Exercice 5 · ★★★
Quel est le reste de \(2^{10}\) modulo 3 ?
Voir la correction
\(2\equiv-1\ [3]\), donc \(2^{10}\equiv(-1)^{10}=1\ [3]\). Reste 1.
Exercice 6 · ★★★
Quel est le chiffre des unités de \(7^{2024}\) (reste modulo 10) ?
Voir la correction
Les unités de \(7^n\) cyclent : \(7,9,3,1\) (période 4). \(2024\equiv0\ [4]\) → comme \(7^4\), unité \(1\).