2ème année :
Continuité, Log & Complexes.
Limites et continuité
On approfondit les limites de 1ère année et on introduit la continuité, clé de l'analyse de Terminale. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
1.1Rappels sur les limites
On réutilise les opérations et les formes indéterminées (\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\)). Techniques : factoriser par le terme dominant, simplifier, ou utiliser la quantité conjuguée avec des racines.
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x}{x^2+1}=\lim\frac{2-\frac1x}{1+\frac1{x^2}}=2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim\limits_{x\to2}(x^2-3)\) ?
Voir la correction
\(4-3=1\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{x-1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{3+2/x}{1-1/x}\to3\).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\limits_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\) ?
Voir la correction
\(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\).
Voir la correction
Conjuguée : \(\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}\to\frac12\).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\).
Voir la correction
Conjuguée : \(\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to\frac12\).
1.2Continuité en un point, sur un intervalle
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\). Elle est continue sur un intervalle si elle l'est en chaque point. Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur domaine), racines et trigonométriques sont continues.
\(f(x)=x^2\) est continue en 2 : \(\lim\limits_{x\to2}x^2=4=f(2)\). Une fonction définie par morceaux peut présenter une « cassure » → discontinuité.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=3x+1\) est-elle continue en 0 ?
Voir la correction
Oui : \(\lim\limits_{x\to0}(3x+1)=1=f(0)\).
Exercice 2 · ★
Les fonctions polynômes sont-elles continues sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
Oui, partout.
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=\frac{1}{x}\) est-elle continue en 0 ?
Voir la correction
Non : \(f\) n'est pas définie en 0 (limite infinie).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\ne1\), \(f(1)=2\). Continue en 1 ?
Voir la correction
\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim(x+1)=2=f(1)\) → oui, continue (prolongement par continuité).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\ne1\), \(f(1)=5\). Continue en 1 ?
Voir la correction
La limite vaut 2 mais \(f(1)=5\ne2\) → non continue.
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=ax+1\) si \(x\le1\), \(f(x)=x^2\) si \(x>1\). Quelle valeur de \(a\) rend \(f\) continue en 1 ?
Voir la correction
Limite à gauche \(a+1\), à droite \(1\), et \(f(1)=a+1\). Continuité : \(a+1=1\Rightarrow a=0\).
1.3Théorème des valeurs intermédiaires
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=k\). Corollaire : si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) a une solution dans \(]a,b[\).
\(f(x)=x^3+x-1\) : \(f(0)=-1<0\), \(f(1)=1>0\), continue → il existe une racine dans \(]0,1[\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quelle hypothèse essentielle exige le TVI sur \([a,b]\) ?
Voir la correction
La continuité de \(f\) sur \([a,b]\).
Exercice 2 · ★
\(f\) continue, \(f(0)=-2\), \(f(3)=4\). Existe-t-il \(c\) avec \(f(c)=0\) ?
Voir la correction
Oui (0 est entre \(-2\) et \(4\)), dans \(]0,3[\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^3+x-1\) : montre qu'il existe une racine dans \(]0,1[\).
Voir la correction
\(f(0)=-1<0\), \(f(1)=1>0\), \(f\) continue → racine dans \(]0,1[\) par le TVI.
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=x^2-2\) : localise \(\sqrt2\) entre deux entiers via le TVI.
Voir la correction
\(f(1)=-1<0\), \(f(2)=2>0\) → racine dans \(]1,2[\) : c'est \(\sqrt2\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que \(x^3=5\) admet une solution dans \([1,2]\).
Voir la correction
\(g(x)=x^3-5\) : \(g(1)=-4<0\), \(g(2)=3>0\), continue → solution dans \(]1,2[\).
Exercice 6 · ★★★
\(f\) continue strictement croissante sur \([a,b]\), \(f(a)<0 Exactement une : le TVI donne l'existence, la stricte monotonie donne l'unicité.Voir la correction
1.4Image d'un intervalle, d'un segment
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment \([a,b]\) par une fonction continue est un segment \([m,M]\) (\(f\) y atteint son minimum \(m\) et son maximum \(M\)).
\(f(x)=x^2\) sur \([-1,2]\) : minimum 0 (en 0), maximum 4 (en 2), donc \(f([-1,2])=[0,4]\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Image d'un segment par une fonction continue : quelle nature ?
Voir la correction
Un segment \([m,M]\).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=2x\) sur \([0,3]\) : donne \(f([0,3])\).
Voir la correction
\([0,6]\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^2\) sur \([-1,2]\) : donne l'image.
Voir la correction
\([0,4]\) (min 0, max 4).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=x^2\) sur \([1,3]\) : image ?
Voir la correction
\(f\) croissante sur \([1,3]\) → \([1,9]\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=-x^2+4\) sur \([-1,3]\) : image ?
Voir la correction
Max en \(x=0\) : \(f(0)=4\). Min en \(x=3\) : \(f(3)=-5\). Image \([-5,4]\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac1x\) sur \([1,+\infty[\) : image ?
Voir la correction
\(f\) décroissante, \(f(1)=1\), \(\lim\limits_{+\infty}=0\) (non atteint) → image \(]0,1]\).
1.5Fonction réciproque
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors elle réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) et admet une fonction réciproque \(f^{-1}\), continue et de même sens de variation. Les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
\(f(x)=x^2\) sur \([0,+\infty[\) est continue strictement croissante → bijective, de réciproque \(f^{-1}(x)=\sqrt x\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Réciproque de \(f(x)=x+3\) ?
Voir la correction
\(f^{-1}(x)=x-3\).
Exercice 2 · ★
Réciproque de \(f(x)=2x\) ?
Voir la correction
\(f^{-1}(x)=\frac{x}{2}\).
Exercice 3 · ★★
Réciproque de \(f(x)=3x-1\) sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
\(y=3x-1\Rightarrow x=\frac{y+1}{3}\), donc \(f^{-1}(x)=\frac{x+1}{3}\).
Exercice 4 · ★★
Par rapport à quelle droite les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont-elles symétriques ?
Voir la correction
La droite \(y=x\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=x^2\) sur \([0,+\infty[\) : donne \(f^{-1}\) et son domaine.
Voir la correction
\(f^{-1}(x)=\sqrt x\), de domaine \([0,+\infty[\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\frac{1}{x}\) sur \(]0,+\infty[\) : montre qu'elle est sa propre réciproque.
Voir la correction
\(y=\frac1x\Rightarrow x=\frac1y\), donc \(f^{-1}(x)=\frac1x=f(x)\) : \(f\) est une involution.
1.6Continuité et opérations
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues. La continuité de \(f\circ u\) découle de celle de \(u\) puis de \(f\).
\(x\mapsto\sqrt{x^2+1}\) est continue sur \(\mathbb R\) : composée de \(x\mapsto x^2+1\) (continue, \(>0\)) et de \(\sqrt{\ }\) (continue).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x^2+\cos x\) est-elle continue sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
Oui (somme de deux fonctions continues).
Exercice 2 · ★
\(f(x)=\frac{1}{x-2}\) : sur quel domaine est-elle continue ?
Voir la correction
Sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) : continue où ?
Voir la correction
Sur \(\mathbb R\) (composée de continues, \(x^2+1>0\)).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=\sqrt{x-1}\) : continue où ?
Voir la correction
Sur \([1,+\infty[\) (là où \(x-1\ge0\)).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=\frac{\sqrt x}{x-4}\) : domaine de continuité ?
Voir la correction
\(x\ge0\) et \(x\ne4\), donc \([0,4[\cup\,]4,+\infty[\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=\cos(\sqrt x)\) : continue où ? Justifie.
Voir la correction
Sur \([0,+\infty[\) : \(x\mapsto\sqrt x\) continue sur \([0,+\infty[\), puis \(\cos\) continue partout → composée continue.
Dérivation et étude de fonctions
La dérivation au niveau Terminale : dérivée d'une réciproque, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, et étude complète. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
2.1Rappels et dérivabilité
\(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) existe et est finie : c'est \(f'(a)\). La dérivabilité entraîne la continuité (l'inverse est faux).
\(f(x)=|x|\) est continue en 0 mais non dérivable en 0 (pentes \(-1\) à gauche, \(+1\) à droite).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(f(x)=x^4\) ?
Voir la correction
\(4x^3\).
Exercice 2 · ★
Dérivée de \(f(x)=\sin x\) ?
Voir la correction
\(\cos x\).
Exercice 3 · ★★
La dérivabilité en \(a\) implique-t-elle la continuité en \(a\) ?
Voir la correction
Oui (l'implication inverse est fausse, cf. \(|x|\) en 0).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(f(x)=\frac{2x-1}{x+1}\) ?
Voir la correction
\(\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}\).
Exercice 5 · ★★★
Étudie la dérivabilité de \(f(x)=\sqrt x\) en 0.
Voir la correction
\(\frac{\sqrt h-0}{h}=\frac{1}{\sqrt h}\to+\infty\) : non dérivable en 0 (tangente verticale).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(f'(a)\) pour \(f(x)=x^2+x\) par la définition.
Voir la correction
\(\frac{(a+h)^2+(a+h)-(a^2+a)}{h}=2a+1+h\to2a+1\).
2.2Dérivée d'une fonction réciproque
Si \(f\) est bijective et dérivable, avec \(f'(f^{-1}(x))\ne0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable et \(\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}\).
\(f(x)=x^2\) sur \([0,+\infty[\), \(f^{-1}(x)=\sqrt x\) : \((\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{f'(\sqrt x)}\) avec \(f'(t)=2t\). Cohérent.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Formule de la dérivée de \(f^{-1}\) ?
Voir la correction
\((f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\).
Exercice 2 · ★
Dérivée de \(\sqrt x\) ?
Voir la correction
\(\frac{1}{2\sqrt x}\).
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^3\), \(f^{-1}(x)=x^{1/3}\). Donne \((f^{-1})'(x)\) via la formule.
Voir la correction
\(f'(t)=3t^2\), donc \((f^{-1})'(x)=\frac{1}{3(x^{1/3})^2}=\frac{1}{3}x^{-2/3}\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=2x+1\). Vérifie la formule pour \(f^{-1}\).
Voir la correction
\(f'(t)=2\) → \((f^{-1})'=\frac12\), ce qui correspond à \(f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}\), de dérivée \(\frac12\). ✓
Exercice 5 · ★★★
\(f\) bijective dérivable, \(f(2)=5\), \(f'(2)=4\). Donne \((f^{-1})'(5)\).
Voir la correction
\((f^{-1})'(5)=\frac{1}{f'(f^{-1}(5))}=\frac{1}{f'(2)}=\frac14\).
Exercice 6 · ★★★
Pourquoi exige-t-on \(f'(f^{-1}(x))\ne0\) ?
Voir la correction
Sinon le dénominateur s'annule : \(f^{-1}\) a alors une tangente verticale et n'est pas dérivable en ce point.
2.3Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Rolle : si \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\) et \(f(a)=f(b)\), alors il existe \(c\in]a,b[\) avec \(f'(c)=0\). Accroissements finis (TAF) : sous les mêmes hypothèses de régularité, il existe \(c\) tel que \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
\(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\) : \(\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=2\), et \(f'(c)=2c=2\Rightarrow c=1\in]0,2[\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Conclusion du théorème de Rolle ?
Voir la correction
Il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\).
Exercice 2 · ★
Quelle condition particulière distingue Rolle du TAF ?
Voir la correction
Rolle exige \(f(a)=f(b)\).
Exercice 3 · ★★
Applique le TAF à \(f(x)=x^2\) sur \([1,3]\) : trouve \(c\).
Voir la correction
\(\frac{9-1}{2}=4=2c\Rightarrow c=2\in]1,3[\).
Exercice 4 · ★★
Applique Rolle à \(f(x)=x^2-4x\) sur \([0,4]\).
Voir la correction
\(f(0)=f(4)=0\) ; \(f'(c)=2c-4=0\Rightarrow c=2\).
Exercice 5 · ★★★
Avec le TAF, montre que \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\).
Voir la correction
\(\sin a-\sin b=\cos(c)(a-b)\) pour un \(c\) ; comme \(|\cos c|\le1\), on a \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\).
Exercice 6 · ★★★
\(f(x)=x^3-3x\) sur \([-\sqrt3,\sqrt3]\). Rolle s'applique-t-il ? Trouve \(c\).
Voir la correction
\(f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)=0\), \(f\) régulière → oui. \(f'(c)=3c^2-3=0\Rightarrow c=\pm1\in]-\sqrt3,\sqrt3[\).
2.4Monotonie et dérivée
Sur un intervalle : \(f'\ge0\Rightarrow f\) croissante ; \(f'\le0\Rightarrow f\) décroissante ; \(f'>0\) (sauf points isolés) \(\Rightarrow\) strictement croissante. On dresse le tableau de variations à partir du signe de \(f'\).
\(f(x)=x^3-3x\) : \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), positive hors de \([-1,1]\), négative dedans.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f'(x)>0\) sur \(I\). Sens de variation ?
Voir la correction
Strictement croissante.
Exercice 2 · ★
\(f(x)=x^2-6x\) : \(f'(x)\) ?
Voir la correction
\(2x-6\).
Exercice 3 · ★★
Variations de \(f(x)=x^2-6x\).
Voir la correction
\(f'<0\) sur \(]-\infty,3[\), \(>0\) après : décroissante puis croissante, min en 3.
Exercice 4 · ★★
Variations de \(f(x)=\frac{x}{x+1}\) sur \(]-1,+\infty[\).
Voir la correction
\(f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0\) → strictement croissante.
Exercice 5 · ★★★
Variations de \(f(x)=x^3-3x\).
Voir la correction
\(f'=3(x-1)(x+1)\) : croissante \(]-\infty,-1]\), décroissante \([-1,1]\), croissante \([1,+\infty[\).
Exercice 6 · ★★★
Variations de \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\) sur son domaine.
Voir la correction
\(f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\). Signe de \(x(x-2)\) : croissante sur \(]-\infty,0]\) et \([2,+\infty[\), décroissante sur \([0,1[\) et \(]1,2]\).
2.5Concavité et points d'inflexion
\(f''>0\) → courbe convexe ; \(f''<0\) → concave. Un point d'inflexion est un point où \(f''\) s'annule en changeant de signe (la courbe traverse sa tangente).
\(f(x)=x^3\) : \(f''(x)=6x\) change de signe en 0 → point d'inflexion en \((0,0)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(f(x)=x^2\) : donne \(f''\) et la concavité.
Voir la correction
\(f''=2>0\) → convexe.
Exercice 2 · ★
\(f(x)=-x^2\) : convexe ou concave ?
Voir la correction
\(f''=-2<0\) → concave.
Exercice 3 · ★★
\(f(x)=x^3\) : point d'inflexion ?
Voir la correction
\(f''=6x=0\) en 0, changement de signe → inflexion en \((0,0)\).
Exercice 4 · ★★
\(f(x)=x^3-3x^2\) : point d'inflexion ?
Voir la correction
\(f''=6x-6=0\) en \(x=1\) → inflexion en \(x=1\), \(f(1)=-2\).
Exercice 5 · ★★★
Convexité de \(f(x)=x^4\) : y a-t-il une inflexion en 0 ?
Voir la correction
\(f''=12x^2\ge0\), pas de changement de signe → pas d'inflexion (toujours convexe).
Exercice 6 · ★★★
Étudie la convexité de \(f(x)=\frac1x\) sur \(\mathbb R^*\).
Voir la correction
\(f''(x)=\frac{2}{x^3}\) : \(<0\) si \(x<0\) (concave), \(>0\) si \(x>0\) (convexe). Pas d'inflexion (0 hors domaine).
2.6Étude complète et représentation
Plan : domaine, parité/périodicité, limites et asymptotes, \(f'\) et variations, \(f''\) et concavité, points remarquables, tracé.
\(f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x\) : impaire, asymptotes \(x=0\) et oblique \(y=x\), \(f'(x)=1-\frac1{x^2}\) (extremums en \(\pm1\)).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(D_f\) de \(f(x)=x+\frac1x\) ?
Voir la correction
\(\mathbb R^*\).
Exercice 2 · ★
Parité de \(f(x)=x+\frac1x\) ?
Voir la correction
Impaire (\(f(-x)=-f(x)\)).
Exercice 3 · ★★
\(f'(x)\) pour \(f(x)=x+\frac1x\) ?
Voir la correction
\(1-\frac{1}{x^2}\).
Exercice 4 · ★★
Extremums de \(f(x)=x+\frac1x\) ?
Voir la correction
\(f'=0\) en \(x=\pm1\) : min local \(f(1)=2\), max local \(f(-1)=-2\).
Exercice 5 · ★★★
Asymptotes de \(f(x)=x+\frac1x\).
Voir la correction
Verticale \(x=0\) ; oblique \(y=x\) (car \(f(x)-x=\frac1x\to0\)).
Exercice 6 · ★★★
Étudie \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\) (parité, dérivée, extremums).
Voir la correction
Impaire ; \(f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\), nul en \(\pm1\) ; max \(f(1)=1\), min \(f(-1)=-1\) ; \(\lim_{\pm\infty}=0\) (asymptote \(y=0\)).
Suites numériques
On passe à la convergence : limites de suites, suites monotones bornées, adjacentes et récurrentes. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
3.1Rappels (arithmétiques, géométriques)
Arithmétique : \(u_n=u_0+nr\). Géométrique : \(u_n=u_0q^n\). Sommes : \(\sum_{k=0}^n u_k=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\) (arith.) et \(u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (géom., \(q\ne1\)).
\(u_0=2\), \(q=3\) : \(u_n=2\cdot3^n\), \(u_4=162\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_0=5\), \(r=2\). Donne \(u_n\).
Voir la correction
\(u_n=5+2n\).
Exercice 2 · ★
\(u_0=1\), \(q=2\). Donne \(u_5\).
Voir la correction
\(u_5=32\).
Exercice 3 · ★★
Somme \(u_0+\dots+u_{10}\) pour \(u_0=3\), \(r=2\).
Voir la correction
\(u_{10}=23\), somme \(=11\cdot\frac{3+23}{2}=143\).
Exercice 4 · ★★
Somme \(1+2+4+\dots+2^{10}\).
Voir la correction
Géométrique \(q=2\) : \(\frac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=2047\).
Exercice 5 · ★★★
\((u_n)\) arithmétique, \(u_2=7\), \(u_6=19\). Trouve \(r\) et \(u_0\).
Voir la correction
\(4r=12\Rightarrow r=3\) ; \(u_0=7-2\cdot3=1\).
Exercice 6 · ★★★
\((v_n)\) géométrique, \(v_1=6\), \(v_4=48\). Trouve \(q\).
Voir la correction
\(\frac{v_4}{v_1}=q^3=8\Rightarrow q=2\).
3.2Limite d'une suite, convergence
\((u_n)\) converge vers \(\ell\) si \(u_n\) se rapproche autant qu'on veut de \(\ell\) pour \(n\) grand. Sinon elle diverge (vers \(\pm\infty\) ou sans limite). Une suite géométrique de raison \(|q|<1\) converge vers 0.
\(u_n=\frac1n\to0\) ; \(u_n=(\frac12)^n\to0\) ; \(u_n=2^n\to+\infty\) ; \(u_n=(-1)^n\) diverge.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\lim u_n\) pour \(u_n=\frac1n\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\) pour \(u_n=2^n\) ?
Voir la correction
\(+\infty\).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\) pour \(u_n=(\frac13)^n\) ?
Voir la correction
\(0\) (\(|q|<1\)).
Exercice 4 · ★★
\(u_n=(-1)^n\) converge-t-elle ?
Voir la correction
Non : elle oscille entre \(1\) et \(-1\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\) pour \(u_n=\frac{2n+1}{n+3}\) ?
Voir la correction
\(\frac{2+1/n}{1+3/n}\to2\).
Exercice 6 · ★★★
\(\lim\) pour \(u_n=\frac{n^2-1}{2n^2+n}\) ?
Voir la correction
\(\frac{1-1/n^2}{2+1/n}\to\frac12\).
3.3Suites monotones et bornées
Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. (On n'a pas forcément la valeur de la limite, juste son existence.)
\(u_n=\frac{n}{n+1}\) est croissante et majorée par 1 → converge (vers 1).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Une suite croissante et majorée : converge-t-elle ?
Voir la correction
Oui.
Exercice 2 · ★
\(u_n=\frac{n}{n+1}\) est-elle majorée ?
Voir la correction
Oui, par 1.
Exercice 3 · ★★
Montre que \(u_n=\frac{n}{n+1}\) est croissante.
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\).
Exercice 4 · ★★
Une suite décroissante minorée par 0 converge-t-elle ?
Voir la correction
Oui (décroissante + minorée).
Exercice 5 · ★★★
\(u_n=2-\frac1n\) : montre qu'elle est croissante et majorée, puis sa limite.
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=\frac1n-\frac1{n+1}>0\) (croissante), \(u_n<2\) (majorée). Limite : \(2\).
Exercice 6 · ★★★
\(u_n=\frac{3n-1}{n}\) : monotonie, borne, limite.
Voir la correction
\(u_n=3-\frac1n\) : croissante, majorée par 3, limite \(3\).
3.4Opérations et théorèmes de comparaison
Opérations comme pour les fonctions. Comparaison : si \(u_n\le v_n\) et \(u_n\to+\infty\) alors \(v_n\to+\infty\). Gendarmes : si \(a_n\le u_n\le b_n\) et \(a_n,b_n\to\ell\), alors \(u_n\to\ell\).
\(-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n\) → par les gendarmes \(\frac{\sin n}{n}\to0\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_n=3+\frac1n\) : limite ?
Voir la correction
\(3\).
Exercice 2 · ★
Si \(u_n\ge n\), limite de \(u_n\) ?
Voir la correction
\(+\infty\) (comparaison).
Exercice 3 · ★★
\(\lim\frac{\sin n}{n}\) ?
Voir la correction
\(0\) (gendarmes).
Exercice 4 · ★★
\(\lim\frac{\cos n}{n^2}\) ?
Voir la correction
\(|\frac{\cos n}{n^2}|\le\frac1{n^2}\to0\) → \(0\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim(n+(-1)^n)\) ?
Voir la correction
\(n+(-1)^n\ge n-1\to+\infty\) → \(+\infty\).
Exercice 6 · ★★★
Encadre puis donne \(\lim\frac{(-1)^n}{n+1}\).
Voir la correction
\(-\frac{1}{n+1}\le\frac{(-1)^n}{n+1}\le\frac{1}{n+1}\), les deux bornes \(\to0\) → limite \(0\).
3.5Suites adjacentes
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et \(v_n-u_n\to0\). Elles convergent alors vers la même limite.
\(u_n=1-\frac1n\) (croissante) et \(v_n=1+\frac1n\) (décroissante) : \(v_n-u_n=\frac2n\to0\) → même limite 1.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Que partagent deux suites adjacentes ?
Voir la correction
La même limite.
Exercice 2 · ★
Quelle condition sur \(v_n-u_n\) ?
Voir la correction
\(v_n-u_n\to0\).
Exercice 3 · ★★
\(u_n=1-\frac1n\), \(v_n=1+\frac1n\) : sont-elles adjacentes ?
Voir la correction
Oui : \(u\) croissante, \(v\) décroissante, \(v_n-u_n=\frac2n\to0\).
Exercice 4 · ★★
Quelle est leur limite commune ?
Voir la correction
\(1\).
Exercice 5 · ★★★
\(u_n=2-\frac{1}{2^n}\), \(v_n=2+\frac{1}{2^n}\) : adjacentes ? limite ?
Voir la correction
Oui (\(u\) croissante, \(v\) décroissante, écart \(\frac{2}{2^n}\to0\)) ; limite \(2\).
Exercice 6 · ★★★
Pourquoi a-t-on toujours \(u_n\le\ell\le v_n\) pour des suites adjacentes (\(u\) croissante, \(v\) décroissante) ?
Voir la correction
\(u\) croît vers \(\ell\) en restant en-dessous, \(v\) décroît vers \(\ell\) en restant au-dessus, donc \(u_n\le\ell\le v_n\) pour tout \(n\).
3.6Suites récurrentes \(u_{n+1}=f(u_n)\)
On étudie \(u_{n+1}=f(u_n)\) : on montre que la suite est bien définie, monotone et bornée (souvent par récurrence) ; si elle converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue, alors \(\ell=f(\ell)\) (point fixe).
\(u_0=1\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) : si \(\ell\) est la limite, \(\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow\ell^2-\ell-2=0\Rightarrow\ell=2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_0=0\), \(u_{n+1}=u_n+2\). Donne \(u_1,u_2\).
Voir la correction
\(2\) et \(4\).
Exercice 2 · ★
Qu'appelle-t-on point fixe de \(f\) ?
Voir la correction
Un réel \(\ell\) tel que \(f(\ell)=\ell\).
Exercice 3 · ★★
\(u_{n+1}=\frac12 u_n+1\). Quel est le point fixe ?
Voir la correction
\(\ell=\frac12\ell+1\Rightarrow\ell=2\).
Exercice 4 · ★★
\(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) : équation du point fixe ?
Voir la correction
\(\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow\ell^2-\ell-2=0\Rightarrow\ell=2\) (positif).
Exercice 5 · ★★★
\(u_0=1\), \(u_{n+1}=\frac12 u_n+1\), \(v_n=u_n-2\). Montre que \((v_n)\) est géométrique.
Voir la correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}-2=\frac12 u_n+1-2=\frac12(u_n-2)=\frac12 v_n\) : géométrique de raison \(\frac12\). Donc \(u_n=2-\frac{1}{2^{n}}\to2\).
Exercice 6 · ★★★
\(u_0=3\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). Montre par récurrence que \(u_n\ge2\).
Voir la correction
\(u_0=3\ge2\). Si \(u_n\ge2\) alors \(u_n+2\ge4\) donc \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\ge2\). Vrai pour tout \(n\).
Fonctions logarithmes
Le logarithme népérien, fonction centrale de l'analyse. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
4.1Fonction logarithme népérien
\(\ln\) est définie sur \(]0,+\infty[\), c'est la primitive de \(x\mapsto\frac1x\) qui s'annule en 1 : \(\ln1=0\). On a \(\ln e=1\) (où \(e\approx2{,}718\)).
\(\ln1=0\), \(\ln e=1\), \(\ln e^2=2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Valeur de \(\ln1\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
Valeur de \(\ln e\) ?
Voir la correction
\(1\).
Exercice 3 · ★★
Domaine de définition de \(\ln\) ?
Voir la correction
\(]0,+\infty[\).
Exercice 4 · ★★
Valeur de \(\ln e^3\) ?
Voir la correction
\(3\).
Exercice 5 · ★★★
Domaine de \(f(x)=\ln(x-2)\) ?
Voir la correction
\(x-2>0\Rightarrow x>2\), donc \(]2,+\infty[\).
Exercice 6 · ★★★
Domaine de \(f(x)=\ln(x^2-1)\) ?
Voir la correction
\(x^2-1>0\Rightarrow x<-1\) ou \(x>1\), donc \(]-\infty,-1[\cup\,]1,+\infty[\).
4.2Propriétés algébriques
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) ; \(\ln\frac ab=\ln a-\ln b\) ; \(\ln a^n=n\ln a\) ; \(\ln\sqrt a=\frac12\ln a\). (Pour \(a,b>0\).)
\(\ln6=\ln2+\ln3\) ; \(\ln\frac{1}{e}=-1\) ; \(\ln8=\ln2^3=3\ln2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Écris \(\ln(15)\) comme somme.
Voir la correction
\(\ln3+\ln5\).
Exercice 2 · ★
Simplifie \(\ln\frac1e\).
Voir la correction
\(\ln1-\ln e=-1\).
Exercice 3 · ★★
Exprime \(\ln32\) en fonction de \(\ln2\).
Voir la correction
\(\ln2^5=5\ln2\).
Exercice 4 · ★★
Simplifie \(\ln4+\ln25\).
Voir la correction
\(\ln100=\ln10^2=2\ln10\) (ou \(\ln100\)).
Exercice 5 · ★★★
Simplifie \(2\ln3-\ln9\).
Voir la correction
\(2\ln3=\ln9\), donc \(\ln9-\ln9=0\).
Exercice 6 · ★★★
Exprime \(\ln\frac{a^2 b}{\sqrt c}\) avec \(\ln a,\ln b,\ln c\).
Voir la correction
\(2\ln a+\ln b-\frac12\ln c\).
4.3Limites et dérivée de ln
\((\ln x)'=\frac1x\) ; plus généralement \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).
\((\ln(x^2+1))'=\frac{2x}{x^2+1}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(\ln x\) ?
Voir la correction
\(\frac1x\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x\) ?
Voir la correction
\(-\infty\).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(\ln(3x+1)\) ?
Voir la correction
\(\frac{3}{3x+1}\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(\ln(x^2+1)\) ?
Voir la correction
\(\frac{2x}{x^2+1}\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\) ?
Voir la correction
\(0\) (croissance comparée).
Exercice 6 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=x\ln x\) ?
Voir la correction
\(\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1\).
4.4Étude et courbe
\(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) (car \(\frac1x>0\)), concave (\((\ln x)''=-\frac{1}{x^2}<0\)). Sa courbe passe par \((1,0)\) et \((e,1)\), avec asymptote verticale \(x=0\).
\(\ln x>0\Leftrightarrow x>1\) ; \(\ln x<0\Leftrightarrow 0
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Sens de variation de \(\ln\) ?
Voir la correction
Strictement croissante.
Exercice 2 · ★
Asymptote de la courbe de \(\ln\) ?
Voir la correction
Asymptote verticale \(x=0\).
Exercice 3 · ★★
Résous \(\ln x>0\).
Voir la correction
\(x>1\).
Exercice 4 · ★★
La fonction \(\ln\) est-elle convexe ou concave ?
Voir la correction
Concave (\((\ln x)''=-\frac{1}{x^2}<0\)).
Exercice 5 · ★★★
Tangente à la courbe de \(\ln\) au point \((1,0)\).
Voir la correction
\(f'(1)=1\), \(f(1)=0\) → \(y=x-1\).
Exercice 6 · ★★★
Variations de \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\).
Voir la correction
\(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\), nul en \(x=e\) : croissante sur \(]0,e]\), décroissante après ; max \(f(e)=\frac1e\).
4.5Logarithme de base \(a\)
Pour \(a>0\), \(a\ne1\) : \(\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}\). Le logarithme décimal \(\log=\log_{10}\) vérifie \(\log10=1\), \(\log10^n=n\).
\(\log_2 8=\frac{\ln8}{\ln2}=\frac{3\ln2}{\ln2}=3\) ; \(\log1000=3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\log10\) ?
Voir la correction
\(1\).
Exercice 2 · ★
\(\log100\) ?
Voir la correction
\(2\).
Exercice 3 · ★★
\(\log_2 8\) ?
Voir la correction
\(3\).
Exercice 4 · ★★
\(\log_3 81\) ?
Voir la correction
\(\frac{\ln81}{\ln3}=\frac{4\ln3}{\ln3}=4\).
Exercice 5 · ★★★
\(\log_5 \frac{1}{25}\) ?
Voir la correction
\(\frac{\ln5^{-2}}{\ln5}=-2\).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(\log_2 x=5\).
Voir la correction
\(x=2^5=32\).
4.6Applications (équations, inéquations)
On utilise que \(\ln\) est strictement croissante : \(\ln a=\ln b\Leftrightarrow a=b\) (pour \(a,b>0\)) et \(\ln a<\ln b\Leftrightarrow a
\(\ln(x-1)=\ln3\) (avec \(x>1\)) \(\Rightarrow x-1=3\Rightarrow x=4\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Résous \(\ln x=0\).
Voir la correction
\(x=1\).
Exercice 2 · ★
Résous \(\ln x=1\).
Voir la correction
\(x=e\).
Exercice 3 · ★★
Résous \(\ln(x-1)=\ln3\).
Voir la correction
\(x>1\), \(x-1=3\Rightarrow x=4\).
Exercice 4 · ★★
Résous \(\ln x<2\) (avec \(x>0\)).
Voir la correction
\(0
Exercice 5 · ★★★
Résous \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln3\).
Voir la correction
\(x>2\). \(\ln(x(x-2))=\ln3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3\) (on rejette \(x=-1\)).
Exercice 6 · ★★★
Pose \(X=\ln x\) et résous \((\ln x)^2-3\ln x+2=0\).
Voir la correction
\(X^2-3X+2=0\Rightarrow X=1\) ou \(X=2\), donc \(x=e\) ou \(x=e^2\).
Nombres complexes (partie 1)
Une nouvelle famille de nombres, où \(i^2=-1\). Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
5.1Forme algébrique, conjugué, module
Un complexe s'écrit \(z=a+ib\) (\(a\) partie réelle, \(b\) partie imaginaire, \(i^2=-1\)). Son conjugué est \(\bar z=a-ib\), son module \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). On a \(z\bar z=|z|^2\).
\(z=3+4i\) : \(\bar z=3-4i\), \(|z|=\sqrt{9+16}=5\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Partie réelle et imaginaire de \(z=2-5i\) ?
Voir la correction
\(\mathrm{Re}(z)=2\), \(\mathrm{Im}(z)=-5\).
Exercice 2 · ★
Conjugué de \(z=1+i\) ?
Voir la correction
\(1-i\).
Exercice 3 · ★★
Module de \(z=3+4i\) ?
Voir la correction
\(5\).
Exercice 4 · ★★
Module de \(z=1+i\) ?
Voir la correction
\(\sqrt2\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(z\bar z\) pour \(z=2+3i\).
Voir la correction
\(z\bar z=|z|^2=4+9=13\).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(z+\bar z=4\) et \(z-\bar z=2i\).
Voir la correction
\(z+\bar z=2a=4\Rightarrow a=2\) ; \(z-\bar z=2ib=2i\Rightarrow b=1\). Donc \(z=2+i\).
5.2Opérations
Addition/soustraction terme à terme ; multiplication en développant avec \(i^2=-1\) ; division en multipliant par le conjugué du dénominateur.
\((2+i)(1-i)=2-2i+i-i^2=2-i+1=3-i\). Et \(\frac{1}{i}=\frac{\bar i}{i\bar i}=\frac{-i}{1}=-i\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\((2+3i)+(1-i)\) ?
Voir la correction
\(3+2i\).
Exercice 2 · ★
Calcule \(i^2\) et \(i^3\).
Voir la correction
\(i^2=-1\), \(i^3=-i\).
Exercice 3 · ★★
\((2+i)(3-i)\) ?
Voir la correction
\(6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i\).
Exercice 4 · ★★
\((1+i)^2\) ?
Voir la correction
\(1+2i+i^2=2i\).
Exercice 5 · ★★★
Écris \(\frac{1}{2+i}\) sous forme algébrique.
Voir la correction
\(\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i}{5}=\frac25-\frac15 i\).
Exercice 6 · ★★★
Écris \(\frac{3+i}{1-i}\) sous forme algébrique.
Voir la correction
\(\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i+i+i^2}{2}=\frac{2+4i}{2}=1+2i\).
5.3Représentation géométrique
À \(z=a+ib\) on associe le point \(M(a,b)\) (son image) et le vecteur \(\overrightarrow{OM}\). \(|z|\) est la distance \(OM\). Le module de \(z_B-z_A\) donne la distance \(AB\).
\(z=3+4i\) → point \((3,4)\), à distance 5 de l'origine.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Image de \(z=2+i\) ?
Voir la correction
Le point \((2,1)\).
Exercice 2 · ★
Affixe du point \((0,3)\) ?
Voir la correction
\(z=3i\).
Exercice 3 · ★★
Distance entre les images de \(z_A=1+i\) et \(z_B=4+5i\) ?
Voir la correction
\(|z_B-z_A|=|3+4i|=5\).
Exercice 4 · ★★
Où sont les points dont l'affixe vérifie \(|z|=2\) ?
Voir la correction
Sur le cercle de centre \(O\) et de rayon 2.
Exercice 5 · ★★★
Décris l'ensemble des \(z\) tels que \(|z-1|=3\).
Voir la correction
Cercle de centre le point d'affixe 1 (soit \((1,0)\)) et de rayon 3.
Exercice 6 · ★★★
Décris l'ensemble des \(z\) tels que \(|z-i|=|z+i|\).
Voir la correction
Points équidistants des images de \(i\) (point \((0,1)\)) et \(-i\) (point \((0,-1)\)) : la médiatrice, c'est-à-dire l'axe des réels (\(y=0\)).
5.4Forme trigonométrique et argument
Pour \(z\ne0\) : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg(z)\) (angle de \(\overrightarrow{OM}\) avec l'axe réel). On a \(\cos\theta=\frac ar\), \(\sin\theta=\frac br\). Propriétés : \(\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\), \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\).
\(z=1+i\) : \(r=\sqrt2\), \(\theta=\frac\pi4\), donc \(z=\sqrt2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Module de \(z=1+i\) ?
Voir la correction
\(\sqrt2\).
Exercice 2 · ★
Argument de \(z=i\) ?
Voir la correction
\(\frac\pi2\).
Exercice 3 · ★★
Forme trigonométrique de \(z=1+i\).
Voir la correction
\(\sqrt2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)\).
Exercice 4 · ★★
Argument de \(z=-1\) ?
Voir la correction
\(\pi\).
Exercice 5 · ★★★
Forme trigonométrique de \(z=1+i\sqrt3\).
Voir la correction
\(r=\sqrt{1+3}=2\), \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\theta=\frac\pi3\). Donc \(2(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3)\).
Exercice 6 · ★★★
Avec \(z_1=1+i\) et \(z_2=1+i\sqrt3\), donne \(|z_1 z_2|\) et \(\arg(z_1 z_2)\).
Voir la correction
\(|z_1z_2|=\sqrt2\cdot2=2\sqrt2\) ; \(\arg=\frac\pi4+\frac\pi3=\frac{7\pi}{12}\).