Semestre 2 :
Exponentielle, Intégrales & Structures.
Fonctions exponentielles
La fonction réciproque du logarithme, omniprésente en sciences. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
6.1Fonction exponentielle népérienne
\(\exp=e^x\) est la réciproque de \(\ln\) : \(y=e^x\Leftrightarrow x=\ln y\) (\(y>0\)). Définie sur \(\mathbb R\), à valeurs dans \(]0,+\infty[\). On a \(e^0=1\), \(e^1=e\), et \(e^{\ln x}=x\), \(\ln(e^x)=x\).
\(e^0=1\), \(e^{\ln5}=5\), \(\ln(e^3)=3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Valeur de \(e^0\) ?
Voir la correction
\(1\).
Exercice 2 · ★
Simplifie \(\ln(e^7)\).
Voir la correction
\(7\).
Exercice 3 · ★★
Simplifie \(e^{\ln 4}\).
Voir la correction
\(4\).
Exercice 4 · ★★
Domaine et ensemble d'arrivée de \(\exp\) ?
Voir la correction
Définie sur \(\mathbb R\), à valeurs dans \(]0,+\infty[\).
Exercice 5 · ★★★
Résous \(e^x=1\).
Voir la correction
\(x=\ln1=0\).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(e^{2x}=e^{x+1}\).
Voir la correction
\(2x=x+1\Rightarrow x=1\) (exp injective).
6.2Propriétés algébriques
\(e^{a+b}=e^a e^b\) ; \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) ; \((e^a)^n=e^{na}\) ; \(e^{-a}=\frac{1}{e^a}\).
\(e^2\cdot e^3=e^5\) ; \(\frac{e^5}{e^2}=e^3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Simplifie \(e^2\cdot e^4\).
Voir la correction
\(e^6\).
Exercice 2 · ★
Simplifie \(\frac{e^7}{e^3}\).
Voir la correction
\(e^4\).
Exercice 3 · ★★
Simplifie \((e^2)^3\).
Voir la correction
\(e^6\).
Exercice 4 · ★★
Simplifie \(e^{-2}\cdot e^5\).
Voir la correction
\(e^3\).
Exercice 5 · ★★★
Simplifie \(\frac{e^{x}\cdot e^{2x}}{e^{x-1}}\).
Voir la correction
\(e^{x+2x-(x-1)}=e^{2x+1}\).
Exercice 6 · ★★★
Montre que \(\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^x}{e^x+1}\).
Voir la correction
Multiplie haut et bas par \(e^x\) : \(\frac{e^x}{e^x(1+e^{-x})}=\frac{e^x}{e^x+1}\).
6.3Limites et dérivée
\((e^x)'=e^x\) ; \((e^u)'=u'e^u\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\) (croissance comparée).
\((e^{3x})'=3e^{3x}\) ; \((e^{x^2})'=2xe^{x^2}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Dérivée de \(e^x\) ?
Voir la correction
\(e^x\).
Exercice 2 · ★
\(\lim\limits_{x\to-\infty}e^x\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(e^{3x}\) ?
Voir la correction
\(3e^{3x}\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(e^{-x^2}\) ?
Voir la correction
\(-2x\,e^{-x^2}\).
Exercice 5 · ★★★
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}\) ?
Voir la correction
\(+\infty\) (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance).
Exercice 6 · ★★★
Dérivée de \(f(x)=xe^x\) ?
Voir la correction
\(e^x+xe^x=(1+x)e^x\).
6.4Étude et courbe
\(\exp\) est continue, strictement croissante (\(e^x>0\)), convexe (\((e^x)''=e^x>0\)). Courbe passant par \((0,1)\) et \((1,e)\), avec asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\). Symétrique de \(\ln\) par rapport à \(y=x\).
\(e^x>1\Leftrightarrow x>0\) ; \(e^x<1\Leftrightarrow x<0\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Sens de variation de \(\exp\) ?
Voir la correction
Strictement croissante.
Exercice 2 · ★
Asymptote de la courbe de \(\exp\) en \(-\infty\) ?
Voir la correction
\(y=0\).
Exercice 3 · ★★
Résous \(e^x>1\).
Voir la correction
\(x>0\).
Exercice 4 · ★★
\(\exp\) est-elle convexe ou concave ?
Voir la correction
Convexe (\((e^x)''=e^x>0\)).
Exercice 5 · ★★★
Tangente à la courbe de \(\exp\) en \((0,1)\).
Voir la correction
\(f'(0)=1\), \(f(0)=1\) → \(y=x+1\).
Exercice 6 · ★★★
Variations de \(f(x)=xe^{-x}\).
Voir la correction
\(f'(x)=(1-x)e^{-x}\), nul en \(x=1\) : croissante sur \(]-\infty,1]\), décroissante après ; max \(f(1)=\frac1e\).
6.5Exponentielle de base \(a\) et fonctions puissances
Pour \(a>0\) : \(a^x=e^{x\ln a}\). Fonctions puissances : \(x^\alpha=e^{\alpha\ln x}\) (\(x>0\)), de dérivée \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\).
\(2^x=e^{x\ln2}\), de dérivée \((2^x)'=\ln2\cdot2^x\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Écris \(3^x\) avec l'exponentielle.
Voir la correction
\(3^x=e^{x\ln3}\).
Exercice 2 · ★
Valeur de \(2^0\) et \(2^3\) ?
Voir la correction
\(1\) et \(8\).
Exercice 3 · ★★
Dérivée de \(2^x\) ?
Voir la correction
\(\ln2\cdot2^x\).
Exercice 4 · ★★
Dérivée de \(x^{3/2}\) (\(x>0\)) ?
Voir la correction
\(\frac32 x^{1/2}=\frac32\sqrt x\).
Exercice 5 · ★★★
Résous \(2^x=8\).
Voir la correction
\(2^x=2^3\Rightarrow x=3\) (ou \(x=\frac{\ln8}{\ln2}=3\)).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(3^x=5\) (forme exacte).
Voir la correction
\(x\ln3=\ln5\Rightarrow x=\frac{\ln5}{\ln3}\).
6.6Applications
On résout les équations/inéquations avec \(e^x\) (souvent en posant \(X=e^x>0\)), et on modélise des phénomènes (croissance, décroissance radioactive…).
\(e^{2x}-3e^x+2=0\) : avec \(X=e^x\), \(X^2-3X+2=0\Rightarrow X=1\) ou \(2\), donc \(x=0\) ou \(x=\ln2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Résous \(e^x=e^2\).
Voir la correction
\(x=2\).
Exercice 2 · ★
Résous \(e^x=5\).
Voir la correction
\(x=\ln5\).
Exercice 3 · ★★
Résous \(e^x>e^3\).
Voir la correction
\(x>3\) (exp croissante).
Exercice 4 · ★★
Résous \(e^{2x}=e^{x}\cdot e^3\).
Voir la correction
\(2x=x+3\Rightarrow x=3\).
Exercice 5 · ★★★
Résous \(e^{2x}-3e^x+2=0\).
Voir la correction
\(X=e^x\) : \(X^2-3X+2=0\Rightarrow X=1\) ou \(2\) → \(x=0\) ou \(x=\ln2\).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(e^{2x}-e^x-6=0\).
Voir la correction
\(X=e^x\) : \(X^2-X-6=0\Rightarrow X=3\) ou \(X=-2\). Comme \(e^x>0\), seul \(X=3\) → \(x=\ln3\).
Nombres complexes (partie 2)
La forme exponentielle et ses applications puissantes : Moivre, Euler, racines n-ièmes, géométrie. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
7.1Forme exponentielle
On note \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). Tout complexe non nul s'écrit \(z=re^{i\theta}\) avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg(z)\). Produit/quotient : \(r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}\).
\(1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}\) ; \(i=e^{i\pi/2}\) ; \(-1=e^{i\pi}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Écris \(i\) sous forme exponentielle.
Voir la correction
\(e^{i\pi/2}\).
Exercice 2 · ★
Écris \(-1\) sous forme exponentielle.
Voir la correction
\(e^{i\pi}\).
Exercice 3 · ★★
Forme exponentielle de \(1+i\) ?
Voir la correction
\(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\).
Exercice 4 · ★★
Forme exponentielle de \(1+i\sqrt3\) ?
Voir la correction
\(2e^{i\pi/3}\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(\sqrt2 e^{i\pi/4}\cdot2e^{i\pi/3}\).
Voir la correction
\(2\sqrt2\,e^{i(7\pi/12)}\).
Exercice 6 · ★★★
Forme exponentielle de \(\frac{1}{1+i}\) ?
Voir la correction
\(\frac{1}{\sqrt2 e^{i\pi/4}}=\frac{1}{\sqrt2}e^{-i\pi/4}\).
7.2Formules de Moivre et d'Euler
Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\). Euler : \(\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\).
\((e^{i\pi/4})^4=e^{i\pi}=-1\), c.-à-d. \((\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)^4=-1\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Énonce la formule de Moivre.
Voir la correction
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\).
Exercice 2 · ★
Calcule \((e^{i\pi/3})^3\).
Voir la correction
\(e^{i\pi}=-1\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \((1+i)^4\) via la forme exponentielle.
Voir la correction
\((\sqrt2 e^{i\pi/4})^4=4e^{i\pi}=-4\).
Exercice 4 · ★★
Exprime \(\cos\theta\) avec la formule d'Euler.
Voir la correction
\(\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \((1+i\sqrt3)^6\).
Voir la correction
\((2e^{i\pi/3})^6=2^6 e^{i2\pi}=64\).
Exercice 6 · ★★★
Linéarise \(\cos^2\theta\) avec Euler.
Voir la correction
\(\cos^2\theta=\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2=\frac{e^{2i\theta}+2+e^{-2i\theta}}{4}=\frac{1+\cos2\theta}{2}\).
7.3Racines n-ièmes
Les racines n-ièmes de \(z=re^{i\theta}\) sont les \(n\) complexes \(z_k=r^{1/n}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}\), \(k=0,\dots,n-1\). Pour \(z=1\) : ce sont les racines de l'unité, réparties sur le cercle unité.
Racines cubiques de 1 : \(1\), \(e^{2i\pi/3}\), \(e^{4i\pi/3}\) (sommets d'un triangle équilatéral).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Combien y a-t-il de racines n-ièmes d'un complexe non nul ?
Voir la correction
\(n\).
Exercice 2 · ★
Quelles sont les racines carrées de 1 ?
Voir la correction
\(1\) et \(-1\).
Exercice 3 · ★★
Donne les racines cubiques de 1.
Voir la correction
\(1,\ e^{2i\pi/3},\ e^{4i\pi/3}\).
Exercice 4 · ★★
Donne les racines quatrièmes de 1.
Voir la correction
\(1,\ i,\ -1,\ -i\).
Exercice 5 · ★★★
Donne les racines carrées de \(i\).
Voir la correction
\(i=e^{i\pi/2}\) → \(z_k=e^{i(\pi/2+2k\pi)/2}\) : \(e^{i\pi/4}\) et \(e^{i5\pi/4}\), soit \(\pm\frac{\sqrt2}{2}(1+i)\).
Exercice 6 · ★★★
Quelle est la somme des racines n-ièmes de l'unité (\(n\ge2\)) ?
Voir la correction
\(0\) (somme d'une suite géométrique de raison \(e^{2i\pi/n}\ne1\), avec \((e^{2i\pi/n})^n=1\)).
7.4Équations dans ℂ
Une équation du second degré \(az^2+bz+c=0\) (coefficients réels) avec \(\Delta<0\) a deux solutions complexes conjuguées \(z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
\(z^2+1=0\Rightarrow z=\pm i\). \(z^2-2z+2=0\) : \(\Delta=-4\), \(z=1\pm i\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Résous \(z^2=-1\).
Voir la correction
\(z=\pm i\).
Exercice 2 · ★
Résous \(z^2=-9\).
Voir la correction
\(z=\pm3i\).
Exercice 3 · ★★
Résous \(z^2-2z+2=0\).
Voir la correction
\(\Delta=-4\) → \(z=1\pm i\).
Exercice 4 · ★★
Résous \(z^2+z+1=0\).
Voir la correction
\(\Delta=-3\) → \(z=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}\).
Exercice 5 · ★★★
Résous \(z^2-4z+13=0\).
Voir la correction
\(\Delta=16-52=-36\) → \(z=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i\).
Exercice 6 · ★★★
Résous \(z^3=1\).
Voir la correction
Racines cubiques de l'unité : \(1,\ e^{2i\pi/3},\ e^{4i\pi/3}\) (soit \(1\) et \(\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}\)).
7.5Nombres complexes et géométrie
\(|z_B-z_A|=AB\). \(\arg\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})\). Une rotation de centre \(\Omega\) (affixe \(\omega\)), angle \(\theta\) : \(z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\).
Si \(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) est réel, alors \(A,B,C\) sont alignés ; s'il est imaginaire pur, \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Distance entre les points d'affixes \(2+i\) et \(5+5i\) ?
Voir la correction
\(|3+4i|=5\).
Exercice 2 · ★
Écriture complexe de la rotation de centre \(O\), angle \(\frac\pi2\) ?
Voir la correction
\(z'=e^{i\pi/2}z=iz\).
Exercice 3 · ★★
Image de \(z=2\) par la rotation \(z'=iz\) ?
Voir la correction
\(z'=2i\) (point \((0,2)\)).
Exercice 4 · ★★
Que signifie \(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb R\) ?
Voir la correction
\(A,B,C\) sont alignés.
Exercice 5 · ★★★
\(A,B,C\) d'affixes \(0,2,2i\). Calcule \(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et conclus.
Voir la correction
\(\frac{2i-0}{2-0}=i\) : imaginaire pur de module 1 → \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) et \(AB=AC\) (triangle rectangle isocèle en \(A\)).
Exercice 6 · ★★★
Écriture complexe de la rotation de centre \(\Omega(1+i)\), angle \(\frac\pi2\).
Voir la correction
\(z'-(1+i)=i\big(z-(1+i)\big)\), soit \(z'=iz+1+i-i(1+i)=iz+2\).
Calcul intégral
L'opération inverse de la dérivation, qui calcule aires et volumes. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
8.1Intégrale et primitives
\(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'=f\). Alors \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\). Primitives usuelles : \(\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\int\frac1x=\ln|x|\), \(\int e^x=e^x\), \(\int\cos=\sin\).
\(\int_0^2 x\,dx=\big[\frac{x^2}{2}\big]_0^2=2\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Une primitive de \(f(x)=2x\) ?
Voir la correction
\(x^2\) (+ constante).
Exercice 2 · ★
Une primitive de \(f(x)=e^x\) ?
Voir la correction
\(e^x\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\int_0^2 x\,dx\).
Voir la correction
\([\frac{x^2}{2}]_0^2=2\).
Exercice 4 · ★★
Calcule \(\int_1^e \frac1x\,dx\).
Voir la correction
\([\ln x]_1^e=1-0=1\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(\int_0^1 (3x^2+2x)\,dx\).
Voir la correction
\([x^3+x^2]_0^1=1+1=2\).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(\int_0^{\pi} \sin x\,dx\).
Voir la correction
\([-\cos x]_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=1+1=2\).
8.2Propriétés de l'intégrale
Linéarité : \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Relation de Chasles : \(\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c\). Positivité : si \(f\ge0\) sur \([a,b]\), alors \(\int_a^b f\ge0\). \(\int_a^a f=0\), \(\int_b^a=-\int_a^b\).
\(\int_0^1(2x+3)\,dx=2\int_0^1 x+3\int_0^1 1=2\cdot\frac12+3=4\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Que vaut \(\int_3^3 f(x)\,dx\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
Si \(\int_a^b f=5\), que vaut \(\int_b^a f\) ?
Voir la correction
\(-5\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\int_0^1(2x+3)\,dx\).
Voir la correction
\([x^2+3x]_0^1=4\).
Exercice 4 · ★★
\(\int_0^2 f=3\), \(\int_2^5 f=4\). Donne \(\int_0^5 f\).
Voir la correction
\(3+4=7\) (Chasles).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(\int_{-1}^{1} x^3\,dx\) et explique le résultat.
Voir la correction
\([\frac{x^4}{4}]_{-1}^1=\frac14-\frac14=0\) (fonction impaire sur intervalle symétrique).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(\int_{-2}^{2} x^2\,dx\).
Voir la correction
\([\frac{x^3}{3}]_{-2}^2=\frac{8}{3}-\frac{-8}{3}=\frac{16}{3}\) (ou \(2\int_0^2 x^2\) car paire).
8.3Techniques : intégration par parties
\(\int_a^b u'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\). On choisit \(u'\) (à intégrer) et \(v\) (à dériver) pour simplifier.
\(\int_0^1 xe^x dx\) : \(u'=e^x\) (\(u=e^x\)), \(v=x\) (\(v'=1\)) → \([xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x=e-(e-1)=1\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Énonce la formule d'intégration par parties.
Voir la correction
\(\int u'v=[uv]-\int uv'\).
Exercice 2 · ★
Pour \(\int xe^x\), quel choix de \(v\) (à dériver) ?
Voir la correction
\(v=x\) (sa dérivée se simplifie en 1).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\int_0^1 xe^x\,dx\).
Voir la correction
\([xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x=e-(e-1)=1\).
Exercice 4 · ★★
Calcule \(\int_1^e \ln x\,dx\) (poser \(u'=1\), \(v=\ln x\)).
Voir la correction
\([x\ln x]_1^e-\int_1^e 1=e-(e-1)=1\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(\int_0^\pi x\sin x\,dx\).
Voir la correction
\(u'=\sin x\,(u=-\cos x)\), \(v=x\) : \([-x\cos x]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x=\pi+[\sin x]_0^\pi=\pi\).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx\).
Voir la correction
\(u'=e^{2x}(u=\frac12 e^{2x})\), \(v=x\) : \([\frac{x}{2}e^{2x}]_0^1-\frac12\int_0^1 e^{2x}=\frac{e^2}{2}-\frac14(e^2-1)=\frac{e^2}{4}+\frac14\).
8.4Calcul d'aires et de volumes
Aire entre la courbe de \(f\ge0\) et l'axe sur \([a,b]\) : \(\int_a^b f(x)\,dx\). Entre deux courbes (\(f\ge g\)) : \(\int_a^b(f-g)\). Volume de révolution autour de \((Ox)\) : \(\pi\int_a^b f(x)^2\,dx\).
Aire sous \(f(x)=x^2\) sur \([0,1]\) : \(\int_0^1 x^2=\frac13\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Aire sous \(f(x)=1\) sur \([0,3]\) ?
Voir la correction
\(\int_0^3 1=3\).
Exercice 2 · ★
Aire sous \(f(x)=x^2\) sur \([0,1]\) ?
Voir la correction
\(\frac13\).
Exercice 3 · ★★
Aire sous \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\) ?
Voir la correction
\([\frac{x^3}{3}]_0^2=\frac83\).
Exercice 4 · ★★
Aire entre \(f(x)=x\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0,1]\).
Voir la correction
\(\int_0^1(x-x^2)=\frac12-\frac13=\frac16\).
Exercice 5 · ★★★
Volume engendré par \(f(x)=x\) sur \([0,2]\) (révolution autour de \(Ox\)).
Voir la correction
\(\pi\int_0^2 x^2=\pi\cdot\frac83=\frac{8\pi}{3}\) (cône).
Exercice 6 · ★★★
Volume engendré par \(f(x)=\sqrt x\) sur \([0,4]\).
Voir la correction
\(\pi\int_0^4 x\,dx=\pi[\frac{x^2}{2}]_0^4=8\pi\).
8.5Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) est \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\).
Valeur moyenne de \(f(x)=x\) sur \([0,2]\) : \(\frac{1}{2}\int_0^2 x=\frac12\cdot2=1\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Valeur moyenne de \(f=4\) (constante) sur \([0,10]\) ?
Voir la correction
\(4\).
Exercice 2 · ★
Formule de la valeur moyenne ?
Voir la correction
\(\frac{1}{b-a}\int_a^b f\).
Exercice 3 · ★★
Valeur moyenne de \(f(x)=x\) sur \([0,2]\) ?
Voir la correction
\(\frac12\cdot2=1\).
Exercice 4 · ★★
Valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0,3]\) ?
Voir la correction
\(\frac13\int_0^3 x^2=\frac13\cdot9=3\).
Exercice 5 · ★★★
Valeur moyenne de \(f(x)=\sin x\) sur \([0,\pi]\) ?
Voir la correction
\(\frac1\pi\int_0^\pi\sin x=\frac1\pi\cdot2=\frac2\pi\).
Exercice 6 · ★★★
Valeur moyenne de \(f(x)=e^x\) sur \([0,1]\) ?
Voir la correction
\(\frac{1}{1}\int_0^1 e^x=e-1\).
Équations différentielles
Des équations dont l'inconnue est une fonction, via sa dérivée. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
9.1Équations \(y'=ay\)
Les solutions de \(y'=ay\) sont les fonctions \(y(x)=Ce^{ax}\), \(C\in\mathbb R\). La constante \(C\) se détermine avec une condition initiale.
\(y'=2y\) → \(y=Ce^{2x}\). Si \(y(0)=3\), alors \(C=3\), donc \(y=3e^{2x}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Solutions de \(y'=3y\) ?
Voir la correction
\(y=Ce^{3x}\).
Exercice 2 · ★
Solutions de \(y'=-y\) ?
Voir la correction
\(y=Ce^{-x}\).
Exercice 3 · ★★
\(y'=2y\), \(y(0)=5\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=5e^{2x}\).
Exercice 4 · ★★
\(y'=-3y\), \(y(0)=2\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=2e^{-3x}\).
Exercice 5 · ★★★
\(y'=\frac12 y\), \(y(2)=e\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=Ce^{x/2}\) ; \(y(2)=Ce=e\Rightarrow C=1\), donc \(y=e^{x/2}\).
Exercice 6 · ★★★
Vérifie que \(y=4e^{5x}\) est solution de \(y'=5y\).
Voir la correction
\(y'=20e^{5x}=5\cdot4e^{5x}=5y\). ✓
9.2Équations \(y'=ay+b\)
Les solutions de \(y'=ay+b\) (\(a\ne0\)) sont \(y(x)=Ce^{ax}-\frac ba\). Le terme \(-\frac ba\) est la solution constante (particulière).
\(y'=2y+6\) → \(y=Ce^{2x}-3\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Solution constante de \(y'=2y+6\) ?
Voir la correction
\(-\frac{6}{2}=-3\).
Exercice 2 · ★
Solutions de \(y'=y+1\) ?
Voir la correction
\(y=Ce^{x}-1\).
Exercice 3 · ★★
Solutions de \(y'=2y+6\) ?
Voir la correction
\(y=Ce^{2x}-3\).
Exercice 4 · ★★
\(y'=-y+2\), \(y(0)=5\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=Ce^{-x}+2\) ; \(y(0)=C+2=5\Rightarrow C=3\), donc \(y=3e^{-x}+2\).
Exercice 5 · ★★★
\(y'=2y+6\), \(y(0)=0\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=Ce^{2x}-3\) ; \(y(0)=C-3=0\Rightarrow C=3\), donc \(y=3e^{2x}-3\).
Exercice 6 · ★★★
Quelle est la limite en \(+\infty\) de la solution de \(y'=-y+4\) avec \(y(0)=1\) ?
Voir la correction
\(y=Ce^{-x}+4\), \(y(0)=C+4=1\Rightarrow C=-3\) ; \(y=-3e^{-x}+4\to4\) (le terme exponentiel s'efface).
9.3Équations \(y''+\omega^2 y=0\)
Les solutions de \(y''+\omega^2 y=0\) (\(\omega>0\)) sont \(y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\). Ce sont les oscillations (mouvement harmonique).
\(y''+4y=0\) (\(\omega=2\)) → \(y=A\cos(2x)+B\sin(2x)\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Solutions de \(y''+y=0\) ?
Voir la correction
\(y=A\cos x+B\sin x\).
Exercice 2 · ★
Pour \(y''+9y=0\), quel est \(\omega\) ?
Voir la correction
\(\omega=3\).
Exercice 3 · ★★
Solutions de \(y''+4y=0\) ?
Voir la correction
\(y=A\cos(2x)+B\sin(2x)\).
Exercice 4 · ★★
Vérifie que \(y=\cos(2x)\) est solution de \(y''+4y=0\).
Voir la correction
\(y''=-4\cos(2x)\), donc \(y''+4y=-4\cos2x+4\cos2x=0\). ✓
Exercice 5 · ★★★
\(y''+y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=A\cos x+B\sin x\) ; \(y(0)=A=1\) ; \(y'(0)=B=0\). Donc \(y=\cos x\).
Exercice 6 · ★★★
\(y''+4y=0\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=2\). Donne \(y\).
Voir la correction
\(y=A\cos2x+B\sin2x\) ; \(y(0)=A=0\) ; \(y'(x)=-2A\sin2x+2B\cos2x\), \(y'(0)=2B=2\Rightarrow B=1\). Donc \(y=\sin2x\).
9.4Applications
On modélise : croissance/décroissance proportionnelle (\(y'=ay\), radioactivité, populations), refroidissement (\(y'=ay+b\)), oscillateurs (\(y''+\omega^2y=0\)). On résout avec les conditions initiales.
Désintégration : \(N'=-\lambda N\) → \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Modèle de désintégration \(N'=-\lambda N\) : forme de \(N(t)\) ?
Voir la correction
\(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\).
Exercice 2 · ★
Une population croît selon \(P'=0{,}05P\). Forme de \(P(t)\) ?
Voir la correction
\(P(t)=P_0 e^{0{,}05t}\).
Exercice 3 · ★★
\(N_0=100\), \(\lambda=\ln2\). Donne \(N(1)\).
Voir la correction
\(N(1)=100e^{-\ln2}=100\cdot\frac12=50\) (demi-vie 1).
Exercice 4 · ★★
Refroidissement \(T'=-k(T-20)\). Quelle est la température d'équilibre ?
Voir la correction
\(20\) (solution constante, vers laquelle \(T\) tend).
Exercice 5 · ★★★
\(P'=0{,}1P\), \(P(0)=200\). Au bout de combien de temps \(P=400\) ?
Voir la correction
\(200e^{0{,}1t}=400\Rightarrow e^{0{,}1t}=2\Rightarrow t=\frac{\ln2}{0{,}1}=10\ln2\approx6{,}9\).
Exercice 6 · ★★★
Un oscillateur suit \(y''+\omega^2 y=0\). Quelle est sa période ?
Voir la correction
\(T=\frac{2\pi}{\omega}\) (les solutions sont \(\cos\omega x\), \(\sin\omega x\), de période \(\frac{2\pi}{\omega}\)).
Structures algébriques
On formalise les ensembles munis d'opérations : groupes, anneaux, corps. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
10.1Lois de composition interne
Une loi de composition interne \(*\) sur \(E\) associe à \((a,b)\in E^2\) un élément \(a*b\in E\). Propriétés possibles : commutative (\(a*b=b*a\)), associative (\((a*b)*c=a*(b*c)\)), élément neutre \(e\) (\(a*e=a\)), symétrique \(a'\) (\(a*a'=e\)).
\(+\) sur \(\mathbb Z\) : commutative, associative, neutre 0, tout \(a\) a un symétrique \(-a\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Élément neutre de \(+\) sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
\(0\).
Exercice 2 · ★
Élément neutre de \(\times\) sur \(\mathbb R\) ?
Voir la correction
\(1\).
Exercice 3 · ★★
La soustraction sur \(\mathbb Z\) est-elle associative ?
Voir la correction
Non : \((5-3)-1=1\) mais \(5-(3-1)=3\).
Exercice 4 · ★★
Symétrique de 5 pour \(+\) sur \(\mathbb Z\) ?
Voir la correction
\(-5\).
Exercice 5 · ★★★
Sur \(\mathbb R\), \(a*b=a+b-3\). Donne le neutre.
Voir la correction
\(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\Rightarrow e=3\).
Exercice 6 · ★★★
Même loi : symétrique de \(a\) ?
Voir la correction
\(a*a'=3\Rightarrow a+a'-3=3\Rightarrow a'=6-a\).
10.2Groupes
\((G,*)\) est un groupe si \(*\) est associative, possède un neutre, et tout élément a un symétrique. Si en plus \(*\) est commutative, le groupe est abélien (commutatif).
\((\mathbb Z,+)\), \((\mathbb R,+)\), \((\mathbb R^*,\times)\) sont des groupes abéliens. \((\mathbb N,+)\) n'en est pas un (pas de symétrique).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\((\mathbb Z,+)\) est-il un groupe ?
Voir la correction
Oui (abélien).
Exercice 2 · ★
\((\mathbb N,+)\) est-il un groupe ?
Voir la correction
Non : 3 n'a pas de symétrique (\(-3\notin\mathbb N\)).
Exercice 3 · ★★
\((\mathbb R^*,\times)\) est-il un groupe ?
Voir la correction
Oui : neutre 1, symétrique \(\frac1a\) (\(a\ne0\)), associatif, commutatif.
Exercice 4 · ★★
Pourquoi \((\mathbb R,\times)\) n'est-il pas un groupe ?
Voir la correction
0 n'a pas de symétrique pour \(\times\).
Exercice 5 · ★★★
\((\mathbb R,*)\) avec \(a*b=a+b-3\) : est-ce un groupe ?
Voir la correction
Oui : associative, neutre 3, symétrique \(6-a\), commutative → groupe abélien.
Exercice 6 · ★★★
L'ensemble \(\{1,-1\}\) muni de \(\times\) est-il un groupe ?
Voir la correction
Oui : stable (\(\pm1\times\pm1=\pm1\)), neutre 1, chaque élément est son propre symétrique → groupe abélien fini.
10.3Anneaux
\((A,+,\times)\) est un anneau si \((A,+)\) est un groupe abélien, \(\times\) est associative et distributive sur \(+\). S'il y a un neutre pour \(\times\) (noté 1), l'anneau est unitaire ; si \(\times\) est commutative, l'anneau est commutatif.
\((\mathbb Z,+,\times)\) est un anneau commutatif unitaire.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\((\mathbb Z,+,\times)\) est-il un anneau ?
Voir la correction
Oui (commutatif unitaire).
Exercice 2 · ★
Quelle structure doit être \((A,+)\) dans un anneau ?
Voir la correction
Un groupe abélien.
Exercice 3 · ★★
Quelle propriété relie \(+\) et \(\times\) dans un anneau ?
Voir la correction
La distributivité de \(\times\) sur \(+\).
Exercice 4 · ★★
\((\mathbb R,+,\times)\) : commutatif et unitaire ?
Voir la correction
Oui, neutre multiplicatif 1, \(\times\) commutative.
Exercice 5 · ★★★
Dans un anneau, que vaut \(a\times0\) ?
Voir la correction
\(0\) : \(a\cdot0=a(0+0)=a\cdot0+a\cdot0\Rightarrow a\cdot0=0\).
Exercice 6 · ★★★
\((\mathbb Z,+,\times)\) est-il un corps ? Pourquoi (anticipe le 10.4) ?
Voir la correction
Non : 2 n'a pas d'inverse dans \(\mathbb Z\) (\(\frac12\notin\mathbb Z\)).
10.4Corps
Un corps est un anneau commutatif unitaire où tout élément non nul a un inverse pour \(\times\). Autrement dit \((K\setminus\{0\},\times)\) est un groupe.
\((\mathbb Q,+,\times)\), \((\mathbb R,+,\times)\), \((\mathbb C,+,\times)\) sont des corps. \((\mathbb Z,+,\times)\) ne l'est pas.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\((\mathbb R,+,\times)\) est-il un corps ?
Voir la correction
Oui.
Exercice 2 · ★
\((\mathbb Q,+,\times)\) est-il un corps ?
Voir la correction
Oui.
Exercice 3 · ★★
Qu'est-ce qui distingue un corps d'un anneau ?
Voir la correction
Tout élément non nul a un inverse pour \(\times\).
Exercice 4 · ★★
\((\mathbb C,+,\times)\) est-il un corps ?
Voir la correction
Oui (tout complexe non nul a un inverse).
Exercice 5 · ★★★
Inverse de \(2+i\) dans \(\mathbb C\) ?
Voir la correction
\(\frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{5}=\frac25-\frac15 i\).
Exercice 6 · ★★★
Pourquoi \((\mathbb Z,+,\times)\) n'est pas un corps mais un anneau ?
Voir la correction
C'est un anneau (toutes les propriétés), mais les éléments comme 2 n'ont pas d'inverse entier → pas un corps.
Dénombrement et probabilités
Du comptage aux probabilités, jusqu'aux variables aléatoires et à la loi binomiale. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
11.1Rappels de dénombrement
Arrangements \(A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}\) (ordre), combinaisons \(\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}\) (sans ordre), permutations \(n!\). Principe multiplicatif pour des choix successifs.
\(\binom52=10\) ; \(A_5^2=20\) ; \(4!=24\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Calcule \(\binom41\).
Voir la correction
\(4\).
Exercice 2 · ★
Calcule \(3!\).
Voir la correction
\(6\).
Exercice 3 · ★★
Calcule \(\binom63\).
Voir la correction
\(20\).
Exercice 4 · ★★
Combien de comités de 3 parmi 10 ?
Voir la correction
\(\binom{10}{3}=120\).
Exercice 5 · ★★★
Parmi 6 hommes et 4 femmes, un comité de 2 hommes et 2 femmes ?
Voir la correction
\(\binom62\binom42=15\times6=90\).
Exercice 6 · ★★★
Nombre de mots de 3 lettres distinctes parmi 26 ?
Voir la correction
\(A_{26}^3=15\,600\).
11.2Probabilité, événements
Dans une situation d'équiprobabilité : \(P(A)=\frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}\). \(P(\Omega)=1\), \(0\le P(A)\le1\), \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), \(P(\bar A)=1-P(A)\).
Dé équilibré : \(P(\text{pair})=\frac36=\frac12\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(P(\text{obtenir 6})\) avec un dé équilibré ?
Voir la correction
\(\frac16\).
Exercice 2 · ★
\(P(\bar A)\) si \(P(A)=0{,}3\) ?
Voir la correction
\(0{,}7\).
Exercice 3 · ★★
\(P(\text{pair})\) avec un dé ?
Voir la correction
\(\frac36=\frac12\).
Exercice 4 · ★★
\(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}2\). \(P(A\cup B)\) ?
Voir la correction
\(0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7\).
Exercice 5 · ★★★
Tirage de 2 cartes parmi 52 : \(P(\text{2 rois})\) ?
Voir la correction
\(\frac{\binom42}{\binom{52}{2}}=\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}\).
Exercice 6 · ★★★
Une urne a 5 boules rouges et 3 vertes. \(P(\text{2 rouges})\) en tirant 2 boules ?
Voir la correction
\(\frac{\binom52}{\binom82}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\).
11.3Probabilité conditionnelle, indépendance
\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (\(P(B)\ne0\)). \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
Deux lancers de dé : « 6 au premier » et « 6 au second » sont indépendants, \(P=\frac16\times\frac16=\frac{1}{36}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Formule de \(P(A\mid B)\) ?
Voir la correction
\(\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
Exercice 2 · ★
Condition d'indépendance de \(A\) et \(B\) ?
Voir la correction
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
Exercice 3 · ★★
\(P(A\cap B)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}5\). \(P(A\mid B)\) ?
Voir la correction
\(\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\).
Exercice 4 · ★★
\(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}5\) indépendants. \(P(A\cap B)\) ?
Voir la correction
\(0{,}15\).
Exercice 5 · ★★★
2 lancers de dé : \(P(\text{deux 6})\) ?
Voir la correction
\(\frac16\times\frac16=\frac{1}{36}\) (indépendants).
Exercice 6 · ★★★
Urne 5R/3V, 2 tirages sans remise : \(P(\text{R puis V})\) ?
Voir la correction
\(\frac58\times\frac37=\frac{15}{56}\) (le 2ᵉ tirage dépend du 1ᵉ).
11.4Variables aléatoires
Une variable aléatoire \(X\) associe un nombre à chaque issue. Sa loi donne \(P(X=x_i)\) pour chaque valeur, avec \(\sum P(X=x_i)=1\).
\(X\) = somme de deux dés : \(X\in\{2,\dots,12\}\), \(P(X=2)=\frac{1}{36}\), \(P(X=7)=\frac{6}{36}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Que vaut la somme de toutes les probabilités d'une loi ?
Voir la correction
\(1\).
Exercice 2 · ★
\(X\) = résultat d'un dé. Valeurs possibles ?
Voir la correction
\(\{1,2,3,4,5,6\}\), chacune de probabilité \(\frac16\).
Exercice 3 · ★★
\(P(X=1)=0{,}3\), \(P(X=2)=0{,}5\). \(P(X=3)\) (si 3 valeurs) ?
Voir la correction
\(1-0{,}8=0{,}2\).
Exercice 4 · ★★
\(X\) = somme de 2 dés : \(P(X=7)\) ?
Voir la correction
\(\frac{6}{36}=\frac16\).
Exercice 5 · ★★★
\(X\) = nombre de piles en 2 lancers. Donne la loi.
Voir la correction
\(P(X=0)=\frac14\), \(P(X=1)=\frac12\), \(P(X=2)=\frac14\).
Exercice 6 · ★★★
\(X\) = somme de 2 dés : \(P(X\le3)\) ?
Voir la correction
\(P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{36}+\frac{2}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\).
11.5Espérance, variance, écart-type
Espérance : \(E(X)=\sum x_i P(X=x_i)\) (valeur moyenne). Variance : \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\). Écart-type : \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).
Dé équilibré : \(E(X)=\frac{1+2+\dots+6}{6}=3{,}5\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Formule de l'espérance ?
Voir la correction
\(E(X)=\sum x_i P(X=x_i)\).
Exercice 2 · ★
Lien entre \(\sigma\) et \(V\) ?
Voir la correction
\(\sigma=\sqrt V\).
Exercice 3 · ★★
\(E(X)\) pour un dé équilibré ?
Voir la correction
\(3{,}5\).
Exercice 4 · ★★
\(X\) : \(P(X=0)=0{,}5\), \(P(X=2)=0{,}5\). \(E(X)\) ?
Voir la correction
\(0\cdot0{,}5+2\cdot0{,}5=1\).
Exercice 5 · ★★★
Même \(X\) : calcule \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Voir la correction
\(E(X^2)=0\cdot0{,}5+4\cdot0{,}5=2\) ; \(V=2-1^2=1\) ; \(\sigma=1\).
Exercice 6 · ★★★
\(X\) : \(P(X=1)=0{,}2\), \(P(X=2)=0{,}3\), \(P(X=5)=0{,}5\). \(E(X)\) ?
Voir la correction
\(0{,}2+0{,}6+2{,}5=3{,}3\).
11.6Loi binomiale
\(X\) suit \(\mathcal B(n,p)\) si elle compte les succès en \(n\) épreuves indépendantes de probabilité \(p\). Alors \(P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\), avec \(E(X)=np\) et \(V(X)=np(1-p)\).
\(n=3\), \(p=\frac12\) : \(P(X=2)=\binom32(\frac12)^2(\frac12)^1=\frac38\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(E(X)\) pour \(\mathcal B(n,p)\) ?
Voir la correction
\(np\).
Exercice 2 · ★
\(E(X)\) pour \(\mathcal B(10\,;0{,}3)\) ?
Voir la correction
\(3\).
Exercice 3 · ★★
\(X\sim\mathcal B(3\,;\frac12)\) : \(P(X=2)\) ?
Voir la correction
\(\binom32(\frac12)^3=\frac38\).
Exercice 4 · ★★
\(X\sim\mathcal B(4\,;\frac12)\) : \(P(X=0)\) ?
Voir la correction
\((\frac12)^4=\frac{1}{16}\).
Exercice 5 · ★★★
\(X\sim\mathcal B(5\,;\frac13)\) : \(P(X=2)\) ?
Voir la correction
\(\binom52(\frac13)^2(\frac23)^3=10\cdot\frac19\cdot\frac{8}{27}=\frac{80}{243}\).
Exercice 6 · ★★★
\(X\sim\mathcal B(4\,;\frac12)\) : \(P(X\ge1)\) ?
Voir la correction
\(1-P(X=0)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\).
Arithmétique dans ℤ
L'arithmétique approfondie : Bézout, Gauss, congruences et Fermat. Chaque section : définition, exemple, puis 6 exercices de ★ à ★★★.
12.1Divisibilité et division euclidienne
\(a\mid b\) s'il existe \(k\) avec \(b=ka\). Division euclidienne : pour \(b>0\), \(a=bq+r\) avec \(0\le r
\(47=6\times7+5\) : \(q=7\), \(r=5\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(6\mid42\) ?
Voir la correction
Oui (\(42=6\times7\)).
Exercice 2 · ★
Reste de 47 par 6 ?
Voir la correction
\(5\).
Exercice 3 · ★★
Division euclidienne de 100 par 7.
Voir la correction
\(100=7\times14+2\).
Exercice 4 · ★★
Nombre de diviseurs positifs de 48 ?
Voir la correction
\(48=2^4\cdot3\) → \((4+1)(1+1)=10\).
Exercice 5 · ★★★
Montre que si \(d\mid a\) et \(d\mid b\), alors \(d\mid(a-b)\).
Voir la correction
\(a=kd\), \(b=k'd\) → \(a-b=(k-k')d\), donc \(d\mid(a-b)\).
Exercice 6 · ★★★
Reste de \(-17\) par 5 (avec \(0\le r<5\)) ?
Voir la correction
\(-17=5\times(-4)+3\) → reste \(3\).
12.2PGCD, PPCM, Bézout, Gauss
Bézout : \(\mathrm{PGCD}(a,b)=d\) ssi il existe \(u,v\) avec \(au+bv=d\) ; \(a,b\) premiers entre eux ssi \(au+bv=1\). Gauss : si \(a\mid bc\) et \(\mathrm{PGCD}(a,b)=1\), alors \(a\mid c\).
\(\mathrm{PGCD}(5,3)=1\) : \(5\times2+3\times(-3)=1\) (Bézout).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(\mathrm{PGCD}(12,18)\) ?
Voir la correction
\(6\).
Exercice 2 · ★
14 et 15 sont-ils premiers entre eux ?
Voir la correction
Oui (PGCD \(=1\)).
Exercice 3 · ★★
Donne un couple \((u,v)\) avec \(5u+3v=1\).
Voir la correction
\(u=2\), \(v=-3\) : \(10-9=1\).
Exercice 4 · ★★
\(\mathrm{PPCM}(12,18)\) via la relation PGCD×PPCM ?
Voir la correction
\(\frac{12\times18}{6}=36\).
Exercice 5 · ★★★
Bézout pour \(\mathrm{PGCD}(7,5)\) : trouve \(u,v\).
Voir la correction
\(7\times3+5\times(-4)=21-20=1\), donc \(u=3\), \(v=-4\).
Exercice 6 · ★★★
Avec Gauss : si \(7\mid5n\) et \(\mathrm{PGCD}(7,5)=1\), que conclure ?
Voir la correction
\(7\mid n\) (théorème de Gauss).
12.3Nombres premiers
Un nombre premier a exactement deux diviseurs. Tout entier \(\ge2\) se décompose de façon unique en facteurs premiers. Pour tester la primalité de \(n\), il suffit de vérifier les diviseurs premiers \(\le\sqrt n\).
\(60=2^2\times3\times5\). 97 est premier (aucun diviseur premier \(\le\sqrt{97}\approx9{,}8\)).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
23 est-il premier ?
Voir la correction
Oui.
Exercice 2 · ★
Décompose 45.
Voir la correction
\(3^2\times5\).
Exercice 3 · ★★
Décompose 360.
Voir la correction
\(2^3\times3^2\times5\).
Exercice 4 · ★★
Jusqu'à quel diviseur tester pour savoir si 97 est premier ?
Voir la correction
Jusqu'à \(\sqrt{97}\approx9{,}8\), donc les premiers \(\le9\) : 2,3,5,7.
Exercice 5 · ★★★
91 est-il premier ?
Voir la correction
Non : \(91=7\times13\).
Exercice 6 · ★★★
Utilise les décompositions pour \(\mathrm{PGCD}(360,84)\).
Voir la correction
\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\), \(84=2^2\cdot3\cdot7\). PGCD \(=2^2\cdot3=12\).
12.4Congruences
\(a\equiv b\ [n]\) si \(n\mid(a-b)\). Compatibles avec \(+\) et \(\times\) : si \(a\equiv a'\) et \(b\equiv b'\ [n]\), alors \(a+b\equiv a'+b'\) et \(ab\equiv a'b'\ [n]\).
\(7\equiv2\ [5]\), donc \(7^2\equiv2^2=4\ [5]\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(17\equiv\ ?\ [5]\) ?
Voir la correction
\(2\).
Exercice 2 · ★
\(100\equiv\ ?\ [9]\) ?
Voir la correction
\(1\) (\(100=99+1\)).
Exercice 3 · ★★
\(a\equiv3\ [7]\), \(b\equiv4\ [7]\). \(ab\ [7]\) ?
Voir la correction
\(12\equiv5\ [7]\).
Exercice 4 · ★★
Reste de \(3^4\) modulo 5 ?
Voir la correction
\(3^2=9\equiv4\), \(3^4\equiv4^2=16\equiv1\ [5]\).
Exercice 5 · ★★★
Reste de \(2^{10}\) modulo 3 ?
Voir la correction
\(2\equiv-1\ [3]\) → \(2^{10}\equiv1\ [3]\).
Exercice 6 · ★★★
Chiffre des unités de \(7^{2024}\) (mod 10) ?
Voir la correction
Cycle \(7,9,3,1\) (période 4) ; \(2024\equiv0\ [4]\) → unité \(1\).
12.5Petit théorème de Fermat
Si \(p\) est premier et \(p\nmid a\), alors \(a^{p-1}\equiv1\ [p]\). Conséquence : \(a^p\equiv a\ [p]\) pour tout \(a\).
\(p=5\), \(a=2\) : \(2^4=16\equiv1\ [5]\). ✓
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Énonce le petit théorème de Fermat.
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Si \(p\) premier et \(p\nmid a\), alors \(a^{p-1}\equiv1\ [p]\).
Exercice 2 · ★
Vérifie \(2^4\equiv1\ [5]\).
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\(2^4=16=15+1\equiv1\ [5]\). ✓
Exercice 3 · ★★
Calcule \(3^6\ [7]\) avec Fermat.
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\(3^{7-1}=3^6\equiv1\ [7]\).
Exercice 4 · ★★
Calcule \(5^7\ [7]\).
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\(a^p\equiv a\) → \(5^7\equiv5\ [7]\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule \(2^{100}\ [7]\).
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\(2^6\equiv1\ [7]\) ; \(100=6\times16+4\) → \(2^{100}\equiv2^4=16\equiv2\ [7]\).
Exercice 6 · ★★★
Calcule \(3^{100}\ [7]\).
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\(3^6\equiv1\ [7]\) ; \(100=6\times16+4\) → \(3^{100}\equiv3^4=81\equiv4\ [7]\).