Salam Afaf,
Le programme de maths,
leçon par leçon.
Huit chapitres, chacun expliqué en détail avec définitions, exemples résolus et exercices corrigés. Essaie les exercices avant d'ouvrir la correction — c'est là que tu apprends vraiment.
Logique mathématique
Le chapitre fondateur de l'année : il t'apprend à raisonner et à démontrer correctement. Toutes les autres leçons s'appuient dessus, alors prends le temps de bien l'assimiler.
1.1Les propositions (assertions)
Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui est soit vrai (V), soit faux (F), mais jamais les deux à la fois ni « entre les deux ». Cette valeur s'appelle la valeur de vérité.
Le test mental à faire systématiquement : « Puis-je trancher, sans ambiguïté, si c'est vrai ou faux ? » Si oui, c'est une proposition ; sinon, non.
- « \(2+3=5\) » → proposition vraie.
- « \(7\) est pair » → proposition fausse.
- « \(x+1=3\) » → pas une proposition : pour \(x=2\) c'est vrai, pour \(x=5\) c'est faux. Sa valeur dépend de \(x\). On parle de prédicat \(P(x)\) : il ne devient une proposition qu'une fois \(x\) fixé, ou quantifié (§1.4).
- « Quelle heure est-il ? » (question), « Ferme la porte » (ordre) → ce ne sont pas des propositions.
On note les propositions par des lettres majuscules \(P,Q,R\dots\) Exemple : on pose \(P\) : « 5 est premier » (ici \(P\) est vraie).
1.2Les opérations logiques
À partir d'une ou deux propositions, on en fabrique de nouvelles. Le comportement de chaque opération se lit dans une table de vérité : on liste tous les cas possibles pour \(P\) (et \(Q\)) et on en déduit le résultat.
La négation \(\neg P\) (« non \(P\) »)
Elle inverse simplement la valeur de vérité.
| \(P\) | \(\neg P\) |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
La négation de « \(>\) » est « \(\le\) » (pas « \(<\) ») ; celle de « \(=\) » est « \(\ne\) » ; celle de « \(\ge\) » est « \(<\) ». Penser à « ce qui reste quand l'énoncé est faux ».
Conjonction \(P\wedge Q\) (« et ») et disjonction \(P\vee Q\) (« ou »)
Le « et » est exigeant : il faut les deux vraies. Le « ou » est généreux : il suffit d'une vraie. En maths le « ou » est inclusif (vrai même si les deux le sont), contrairement au « fromage ou dessert » de la vie courante.
| \(P\) | \(Q\) | \(P\wedge Q\) | \(P\vee Q\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | F |
L'implication \(P\Rightarrow Q\) (« si \(P\) alors \(Q\) »)
Intuition : vois l'implication comme une promesse « si tu réussis l'examen (\(P\)), je t'offre un cadeau (\(Q\)) ». La promesse n'est trahie que dans un seul cas : tu réussis mais tu n'as rien (\(P\) vraie, \(Q\) fausse). Si tu ne réussis pas, la promesse n'est jamais rompue, quoi qu'il arrive — d'où la ligne déroutante : une hypothèse fausse rend l'implication vraie.
| \(P\) | \(Q\) | \(P\Rightarrow Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
L'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) (« si et seulement si »)
Vraie quand \(P\) et \(Q\) ont la même valeur. C'est une double implication : \(P\Leftrightarrow Q\) signifie \((P\Rightarrow Q)\) et \((Q\Rightarrow P)\). C'est pourquoi prouver une équivalence demande souvent deux démonstrations (le sens direct et le sens réciproque).
1.3Les lois logiques
\[\neg(P\wedge Q)\Leftrightarrow(\neg P)\vee(\neg Q)\qquad \neg(P\vee Q)\Leftrightarrow(\neg P)\wedge(\neg Q)\]
Mémo : « la négation entre dans la parenthèse et retourne le connecteur » (le « et » devient « ou » et inversement).
- Contraposée de \(P\Rightarrow Q\) : \(\neg Q\Rightarrow\neg P\). Elle a toujours la même valeur de vérité que l'implication. C'est très utile : prouver la contraposée revient à prouver l'implication.
- Réciproque : \(Q\Rightarrow P\). Elle peut être fausse alors que l'implication est vraie. Exemple : « si \(x=2\) alors \(x^2=4\) » est vrai, mais sa réciproque « si \(x^2=4\) alors \(x=2\) » est fausse (\(x=-2\)).
- Négation de l'implication : \(\neg(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow P\wedge\neg Q\).
Autres lois utiles : commutativité et associativité de \(\wedge\) et \(\vee\), et distributivité \(P\wedge(Q\vee R)\Leftrightarrow(P\wedge Q)\vee(P\wedge R)\).
1.4Les quantificateurs
- Universel \(\forall\) (« pour tout ») : \(\forall x\in E,\ P(x)\) — vrai pour tous les \(x\).
- Existentiel \(\exists\) (« il existe ») : \(\exists x\in E,\ P(x)\) — vrai pour au moins un \(x\).
\[\neg(\forall x,\ P(x))\Leftrightarrow \exists x,\ \neg P(x)\qquad \neg(\exists x,\ P(x))\Leftrightarrow \forall x,\ \neg P(x)\]
« \(\forall x,\ \exists y,\ x+y=0\) » (vrai : pour chaque \(x\), on prend \(y=-x\)) n'a rien à voir avec « \(\exists y,\ \forall x,\ x+y=0\) » (faux : aucun \(y\) ne marche pour tous les \(x\)).
1.5Les types de raisonnement
- Déduction directe — on enchaîne les implications de l'hypothèse vers la conclusion.
- Par contraposée — pour \(P\Rightarrow Q\), on prouve \(\neg Q\Rightarrow\neg P\). Ex : « si \(n^2\) pair alors \(n\) pair » se prouve mieux par sa contraposée.
- Par l'absurde — on suppose la conclusion fausse, et on aboutit à une contradiction.
- Par contre-exemple — pour réfuter « \(\forall x,\ P(x)\) », un seul \(x\) qui échoue suffit.
- Par disjonction de cas — on découpe en cas exhaustifs (ex : \(n\) pair / \(n\) impair).
Pour prouver \(P(n)\) vraie pour tout \(n\ge n_0\) : (1) Initialisation on vérifie \(P(n_0)\) ; (2) Hérédité on suppose \(P(n)\) (hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n+1)\) ; (3) Conclusion \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Pour chaque énoncé, dis si c'est une proposition et donne sa valeur de vérité : (a) \(3+4=8\) ; (b) « ouvre la fenêtre » ; (c) \(\sqrt9=3\) ; (d) \(2x=6\).
Voir la correction
(a) Proposition fausse. (b) Pas une proposition (ordre). (c) Proposition vraie. (d) Pas une proposition (prédicat, dépend de \(x\)).
Exercice 2 · ★
Écris la négation de chacune : (a) \(x\ge 2\) ; (b) \(x=5\) ; (c) « \(x>0\) et \(x<3\) ».
Voir la correction
(a) \(x\lt 2\). (b) \(x\ne 5\). (c) par De Morgan : « \(x\le 0\) ou \(x\ge 3\) ».
Exercice 3 · ★★
On pose \(P\) : « 12 est divisible par 3 » et \(Q\) : « 12 est divisible par 5 ». Donne la valeur de \(P\wedge Q\), \(P\vee Q\), \(P\Rightarrow Q\), \(Q\Rightarrow P\).
Voir la correction
\(P\) vraie, \(Q\) fausse. \(P\wedge Q=\) F ; \(P\vee Q=\) V ; \(P\Rightarrow Q=V\Rightarrow F=\) F ; \(Q\Rightarrow P=F\Rightarrow V=\) V.
Exercice 4 · ★★
Soit l'implication « si \(x>3\) alors \(x>1\) ». Écris sa contraposée et sa réciproque, puis dis si chacune est vraie.
Voir la correction
Contraposée : « si \(x\le 1\) alors \(x\le 3\) » — vraie (même valeur que l'implication, qui est vraie). Réciproque : « si \(x>1\) alors \(x>3\) » — fausse (contre-exemple \(x=2\)).
Exercice 5 · ★★★
Écris la négation de « \(\forall x\in\mathbb R,\ \exists n\in\mathbb N,\ n>x\) », puis dis si l'énoncé de départ est vrai.
Voir la correction
Négation : « \(\exists x\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb N,\ n\le x\) ». L'énoncé de départ est vrai (pour tout réel \(x\), on peut toujours trouver un entier qui le dépasse) ; sa négation est donc fausse.
Exercice 6 · ★★★
Démontre par récurrence que pour tout \(n\ge 1\) : \(\displaystyle 1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Voir la correction
Initialisation (\(n=1\)) : à gauche \(1\), à droite \(\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1\). OK.
Hérédité : on suppose la formule au rang \(n\). Alors \(\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n+1}{6}\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]=\frac{n+1}{6}\big(2n^2+7n+6\big)=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\), qui est la formule au rang \(n+1\). Conclusion : vraie pour tout \(n\ge1\).
Ensembles et applications
Le vocabulaire de base de toutes les maths. On manipule d'abord les ensembles et leurs opérations, puis les applications et leurs trois propriétés clés : injective, surjective, bijective.
2.1Ensembles, appartenance, inclusion
- Un ensemble \(E\) est une collection d'objets, ses éléments. On écrit \(x\in E\) ou \(x\notin E\).
- Inclusion : \(E\subset F\) signifie \(\forall x,\ (x\in E\Rightarrow x\in F)\) — « tout élément de \(E\) est dans \(F\) ».
- Égalité : \(E=F\Leftrightarrow (E\subset F \text{ et } F\subset E)\). C'est la méthode standard pour prouver une égalité d'ensembles : la double inclusion.
- L'ensemble vide \(\varnothing\) ne contient rien et est inclus dans tout ensemble.
L'ensemble des parties \(\mathcal P(E)\) regroupe tous les sous-ensembles de \(E\). Si \(E=\{a,b\}\), alors \(\mathcal P(E)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\) — 4 parties. En général, si \(E\) a \(n\) éléments, \(\mathcal P(E)\) en a \(2^n\).
\(\in\) relie un élément à un ensemble ; \(\subset\) relie deux ensembles. On écrit \(a\in\{a,b\}\) mais \(\{a\}\subset\{a,b\}\).
2.2Opérations sur les ensembles
- Intersection : \(E\cap F=\{x\mid x\in E \text{ et } x\in F\}\).
- Réunion : \(E\cup F=\{x\mid x\in E \text{ ou } x\in F\}\).
- Différence : \(E\setminus F=\{x\mid x\in E \text{ et } x\notin F\}\).
- Complémentaire de \(A\subset E\) : \(\complement_E A=E\setminus A\).
- Produit cartésien : \(E\times F=\{(x,y)\mid x\in E,\ y\in F\}\). Ex : \(\mathbb R^2\) est le plan.
\[\complement_E(A\cap B)=\complement_E A\cup\complement_E B\qquad \complement_E(A\cup B)=\complement_E A\cap\complement_E B\]
Remarque la parenté exacte avec la logique : \(\cap\leftrightarrow\wedge\), \(\cup\leftrightarrow\vee\), \(\complement\leftrightarrow\neg\). Tout ce chapitre est la « traduction ensembliste » de la logique du chapitre 1.
2.3Applications : définition
Une application \(f:E\to F\) associe à chaque \(x\in E\) un unique \(f(x)\in F\) (son image). \(E\) = ensemble de départ, \(F\) = ensemble d'arrivée. Les deux mots clés sont « chaque » (tout \(x\) a une image) et « unique » (une seule).
2.4Injection, surjection, bijection
- Injective : des entrées distinctes donnent des sorties distinctes. \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\). (Chaque \(y\) a au plus un antécédent.)
- Surjective : tout \(y\in F\) est atteint. \(\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y\). (Chaque \(y\) a au moins un antécédent.)
- Bijective : injective et surjective. Chaque \(y\) a exactement un antécédent.
Pour étudier une fonction numérique \(f\), on fixe \(y\) et on résout l'équation \(f(x)=y\). Aucune solution pour certains \(y\) → non surjective ; plusieurs solutions → non injective ; exactement une pour chaque \(y\) → bijective.
2.5Composition et réciproque
Pour \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) (on applique \(f\) puis \(g\)).
Si \(f\) est bijective, elle admet une réciproque \(f^{-1}:F\to E\) telle que \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_E\) et \(f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_F\). On a l'équivalence pratique \(y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\).
2.6Image directe et image réciproque
Pour \(f:E\to F\), \(A\subset E\), \(B\subset F\) :
- Image directe : \(f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\subset F\) (les sorties obtenues à partir de \(A\)).
- Image réciproque : \(f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}\subset E\) (les entrées qui tombent dans \(B\)). Cette notation a un sens même si \(f\) n'est pas bijective.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5,6\}\). Donne \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\setminus B\).
Voir la correction
\(A\cap B=\{3,4\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) ; \(A\setminus B=\{1,2\}\).
Exercice 2 · ★
Combien de parties possède \(E=\{a,b,c\}\) ? Liste-les.
Voir la correction
\(2^3=8\) parties : \(\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\).
Exercice 3 · ★★
\(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=3x-2\). Montre qu'elle est bijective et détermine \(f^{-1}\).
Voir la correction
Injective : \(3a-2=3b-2\Rightarrow a=b\). Surjective : \(f(x)=y\Leftrightarrow x=\frac{y+2}{3}\) existe pour tout \(y\). Donc bijective, et \(f^{-1}(y)=\dfrac{y+2}{3}\).
Exercice 4 · ★★
\(g:\mathbb R\to\mathbb R,\ g(x)=x^2-1\). Est-elle injective ? surjective ? Donne \(g^{-1}(\{0\})\) (image réciproque de \(\{0\}\)).
Voir la correction
Non injective (\(g(1)=g(-1)=0\)), non surjective (\(g(x)\ge -1\), donc \(-2\) n'est pas atteint). \(g^{-1}(\{0\})=\{x\mid x^2-1=0\}=\{-1,1\}\).
Exercice 5 · ★★★
\(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\). Calcule \(g\circ f\) et \(f\circ g\). Sont-elles égales ?
Voir la correction
\((g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\). \((f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1\). Elles sont différentes : la composition n'est pas commutative.
Exercice 6 · ★★★
Démontre l'égalité d'ensembles \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\) par double inclusion.
Voir la correction
Soit \(x\). \(x\in A\setminus(B\cup C)\Leftrightarrow x\in A \text{ et } x\notin(B\cup C)\Leftrightarrow x\in A \text{ et } (x\notin B \text{ et } x\notin C)\) (De Morgan). Ceci équivaut à \((x\in A \text{ et } x\notin B)\) et \((x\in A \text{ et } x\notin C)\), c'est-à-dire \(x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\). Les deux ensembles ont les mêmes éléments, donc ils sont égaux.
Généralités sur les fonctions numériques
Avant les limites et les dérivées, on étudie les propriétés « globales » d'une fonction : son domaine, ses symétries (parité, périodicité), son sens de variation et ses extremums.
3.1Ensemble de définition
\(D_f\) est l'ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe.
- Un dénominateur ne doit pas s'annuler.
- Sous une racine carrée : l'expression doit être \(\ge 0\).
- Combinaison des deux : on prend l'intersection des conditions.
\(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}\) : il faut \(x-1\ge0\) et \(x-3\ne0\), donc \(D_f=[1,3[\cup\,]3,+\infty[\).
3.2Égalité et comparaison
\(f=g\) si elles ont le même domaine et \(f(x)=g(x)\) partout. Pour comparer \(f\) et \(g\) sur \(I\), on étudie le signe de \(f-g\) : si \(f(x)-g(x)\ge0\) sur \(I\), alors \(f\ge g\) sur \(I\). Graphiquement, la courbe de \(f\) est alors au-dessus de celle de \(g\).
3.3Parité (paire / impaire)
On suppose \(D_f\) symétrique par rapport à 0. Alors :
- \(f\) paire si \(f(-x)=f(x)\) → courbe symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\).
- \(f\) impaire si \(f(-x)=-f(x)\) → courbe symétrique par rapport à l'origine \(O\).
Intérêt : il suffit alors d'étudier \(f\) sur \([0,+\infty[\) et de compléter par symétrie — moitié moins de travail.
\(x^2,\ \cos x\) : paires. \(x^3,\ \sin x,\ \frac1x\) : impaires. \(x+1\) : ni l'une ni l'autre.
3.4Périodicité
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\). On étudie alors \(f\) sur un seul intervalle de longueur \(T\), puis on reproduit le motif.
Exemples : \(\sin\) et \(\cos\) sont \(2\pi\)-périodiques ; \(\tan\) est \(\pi\)-périodique. Plus généralement, \(x\mapsto\cos(\omega x)\) a pour période \(\frac{2\pi}{\omega}\).
3.5Monotonie et extremums
Sur un intervalle \(I\) : \(f\) croissante si \(a\le b\Rightarrow f(a)\le f(b)\) ; décroissante si \(a\le b\Rightarrow f(a)\ge f(b)\) (strictement avec inégalités strictes).
Méthode du taux de variation : pour \(a\ne b\) dans \(I\), on calcule \(\tau=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\). Si \(\tau>0\) sur tout \(I\), \(f\) est croissante ; si \(\tau<0\), décroissante.
\(f\) admet un maximum \(M\) en \(x_0\) si \(f(x)\le M=f(x_0)\) pour tout \(x\) (minimum : inégalité inversée). Global sur tout \(D_f\), local sur un petit voisinage.
3.6Composée et sens de variation
Pour \(g\circ f\) sur un intervalle : même sens de variation pour \(f\) et \(g\) → composée croissante ; sens contraires → composée décroissante. (Comme la règle des signes du produit.)
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Détermine \(D_f\) pour \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\).
Voir la correction
Il faut \(x-2\ne0\), donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}=\,]{-\infty},2[\,\cup\,]2,+\infty[\).
Exercice 2 · ★
Étudie la parité de \(f(x)=x^4-3x^2\).
Voir la correction
\(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)\) : fonction paire.
Exercice 3 · ★★
Détermine \(D_f\) pour \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\), puis montre que \(f\) est paire.
Voir la correction
\(4-x^2\ge0\Leftrightarrow -2\le x\le 2\), donc \(D_f=[-2,2]\) (symétrique). \(f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x)\) : paire.
Exercice 4 · ★★
Montre que \(f(x)=x^2\) est croissante sur \([0,+\infty[\) avec le taux de variation.
Voir la correction
Pour \(0\le a\lt b\) : \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
Exercice 5 · ★★★
Soit \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\) sur \(]-1,+\infty[\). Étudie son sens de variation via le taux de variation.
Voir la correction
Pour \(a,b\gt-1\), \(a\ne b\) : \(f(a)-f(b)=\frac{2a-1}{a+1}-\frac{2b-1}{b+1}=\frac{(2a-1)(b+1)-(2b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{3(a-b)}{(a+1)(b+1)}\). Le taux \(\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{3}{(a+1)(b+1)}\gt0\) (dénominateur positif sur \(]-1,+\infty[\)). Donc \(f\) est strictement croissante.
Exercice 6 · ★★★
Soit \(f\) croissante sur \(\mathbb R\) et \(g(x)=-3x+5\). Détermine le sens de variation de \(g\circ f\), puis de \(f\circ g\). Justifie.
Voir la correction
\(g\) est décroissante (coefficient \(-3\lt0\)). \(g\circ f\) : \(f\) croissante et \(g\) décroissante → sens contraires → décroissante. \(f\circ g\) : \(g\) décroissante puis \(f\) croissante → sens contraires → décroissante. (Dans les deux cas, exactement une fonction « retourne » l'ordre.)
Le barycentre dans le plan
Le barycentre est un « point d'équilibre » pondéré. Bien maîtrisé, il transforme des sommes vectorielles compliquées en un seul vecteur — d'où sa puissance pour les alignements et les lieux de points.
4.1Point pondéré et définition
Un point pondéré est un couple \((A,\alpha)\) : un point \(A\) muni d'un poids \(\alpha\in\mathbb R\). Le barycentre \(G\) de \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\), avec \(\alpha+\beta\ne0\), est l'unique point tel que :
\[\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec 0\]
Généralisation à \(n\) points : \(\sum_i\alpha_i\,\overrightarrow{GA_i}=\vec0\), à condition que \(\sum_i\alpha_i\ne0\).
Imagine des masses \(\alpha,\beta\) posées en \(A,B\) sur une tige : \(G\) est le point d'équilibre. Plus une masse est grande, plus \(G\) se rapproche d'elle.
4.2Relation fondamentale
Si \(\alpha+\beta\ne0\), \(G\) existe, est unique, et pour tout point \(M\) :
\[\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}\]
Cette identité « réduit » une somme de vecteurs en un seul. On l'utilise dans presque tous les exercices.
4.3Homogénéité
Multiplier tous les poids par un même \(k\ne0\) ne change pas \(G\) :
\[\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}=\mathrm{bar}\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\}\]
On s'en sert pour « nettoyer » les poids (enlever les fractions, simplifier). Si \(\alpha=\beta\), \(G\) est le milieu de \([AB]\) (isobarycentre).
4.4Associativité (barycentres partiels)
On peut regrouper des points : les remplacer par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids.
\[\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}\ \text{ avec }\ H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\]
Très utile pour prouver des alignements (montrer que \(G\) est sur une droite \((HC)\)).
4.5Coordonnées du barycentre
Avec \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), \(\alpha+\beta\ne0\) :
\[x_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta},\qquad y_G=\frac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}\]
(C'est une « moyenne pondérée » des coordonnées.)
4.6Applications
Le barycentre permet de prouver des alignements, de localiser le centre de gravité d'un triangle (isobarycentre des sommets, point de concours des médianes situé au tiers de chaque médiane), et de déterminer des lignes de niveau du type \(\{M\mid \alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\vec u\}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(A(0,0)\), \(B(6,3)\). Donne le milieu \(I\) de \([AB]\) (isobarycentre).
Voir la correction
\(I\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+3}{2}\right)=(3,\ 1{,}5)\).
Exercice 2 · ★
\(A(2,1)\), \(B(8,7)\). Détermine \(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,3)\}\).
Voir la correction
\(x_G=\frac{1\cdot2+3\cdot8}{4}=\frac{26}{4}=6{,}5\) ; \(y_G=\frac{1\cdot1+3\cdot7}{4}=\frac{22}{4}=5{,}5\). Donc \(G(6{,}5\,;\,5{,}5)\).
Exercice 3 · ★★
Réduis l'expression vectorielle \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\) à l'aide d'un barycentre.
Voir la correction
Soit \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3)\}\) (\(2+3=5\ne0\)). Alors \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\,\overrightarrow{MG}\).
Exercice 4 · ★★
\(A,B,C\) trois points. Soit \(G\) le centre de gravité. Exprime \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\).
Voir la correction
\(G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}\) (isobarycentre), donc par définition \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).
Exercice 5 · ★★★
\(ABC\) un triangle, \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}\). En utilisant l'associativité, montre que \(G\) appartient à la droite \((AI)\) où \(I\) est le milieu de \([BC]\).
Voir la correction
\(I=\mathrm{bar}\{(B,1),(C,1)\}\). Par associativité, \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(I,2)\}\) — c'est donc le milieu de \([AI]\), qui est bien sur la droite \((AI)\). (En fait \(\overrightarrow{AG}=\tfrac12\overrightarrow{AI}\).)
Exercice 6 · ★★★
Détermine l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\,2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\,\|=10\).
Voir la correction
Avec \(G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,3)\}\) : \(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MG}\). La condition devient \(\|5\overrightarrow{MG}\|=10\), soit \(5\,MG=10\), donc \(MG=2\). L'ensemble cherché est le cercle de centre \(G\) et de rayon 2.
Le produit scalaire dans le plan
Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre. Il relie longueurs, angles et orthogonalité dans une seule formule — c'est l'outil métrique central de la géométrie.
5.1Les trois expressions
Trois formes équivalentes du produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v\) :
- Angle : \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\), où \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\).
- Projection : si \(\vec v'\) est le projeté orthogonal de \(\vec v\) sur la direction de \(\vec u\), alors \(\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec v'\).
- Normes : \(\vec u\cdot\vec v=\frac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)\).
Le signe de \(\vec u\cdot\vec v\) suit le signe de \(\cos\theta\) : positif si l'angle est aigu, nul si droit, négatif si obtus.
5.2Expression analytique
Pour \(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\) :
\[\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\qquad\text{et donc}\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\]
C'est la formule de calcul la plus utilisée en pratique.
5.3Propriétés algébriques
- Symétrie : \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\).
- Bilinéarité : \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) et \((k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)\).
- Carré scalaire : \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\).
- Identités remarquables : \(\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).
5.4Orthogonalité
\[\vec u\perp\vec v\;\Longleftrightarrow\;\vec u\cdot\vec v=0\]
C'est le critère le plus utilisé pour prouver qu'un angle est droit, qu'un triangle est rectangle, ou qu'une droite est perpendiculaire à une autre.
5.5Angles, distances, Al-Kashi
Angle entre deux vecteurs : \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\).
Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) dans un triangle : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\). C'est la généralisation de Pythagore (qu'on retrouve si \(\widehat A=\frac\pi2\)).
5.6Cercle et lignes de niveau
Le cercle de diamètre \([AB]\) est exactement \(\{M\mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\}\) (l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) est droit). Les ensembles \(\{M\mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\}\) sont des lignes de niveau (souvent des cercles).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Repère orthonormé. \(\vec u(2,3)\), \(\vec v(4,-1)\). Calcule \(\vec u\cdot\vec v\).
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec v=2\cdot4+3\cdot(-1)=8-3=5\).
Exercice 2 · ★
Calcule \(\|\vec u\|\) pour \(\vec u(3,4)\).
Voir la correction
\(\|\vec u\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).
Exercice 3 · ★★
Pour quelle valeur de \(m\) les vecteurs \(\vec u(m,4)\) et \(\vec v(2,-3)\) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec v=2m-12=0\Rightarrow m=6\).
Exercice 4 · ★★
\(A(1,1)\), \(B(4,2)\), \(C(2,5)\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ?
Voir la correction
\(\overrightarrow{AB}(3,1)\), \(\overrightarrow{AC}(1,4)\). \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3+4=7\ne0\). Donc non, l'angle en \(A\) n'est pas droit.
Exercice 5 · ★★★
\(\vec u\) et \(\vec v\) tels que \(\|\vec u\|=3\), \(\|\vec v\|=2\) et \((\widehat{\vec u,\vec v})=\frac{\pi}{3}\). Calcule \(\vec u\cdot\vec v\) puis \(\|\vec u+\vec v\|\).
Voir la correction
\(\vec u\cdot\vec v=3\cdot2\cdot\cos\frac\pi3=6\cdot\frac12=3\). Puis \(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=9+6+4=19\), donc \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt{19}\).
Exercice 6 · ★★★
Soit \(A(-1,0)\) et \(B(3,0)\). Détermine et reconnais l'ensemble \(\{M(x,y)\mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\}\).
Voir la correction
\(\overrightarrow{MA}(-1-x,\,-y)\), \(\overrightarrow{MB}(3-x,\,-y)\). Produit scalaire : \((-1-x)(3-x)+y^2=0\), soit \(x^2-2x-3+y^2=0\), c'est-à-dire \((x-1)^2+y^2=4\). C'est le cercle de centre \((1,0)\) — le milieu de \([AB]\) — et de rayon 2 (cercle de diamètre \([AB]\)).
Calcul trigonométrique
Le cercle trigonométrique, les fonctions \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\), les formules de transformation et la résolution d'équations. Beaucoup de formules, mais toutes se déduisent de quelques-unes : comprends-les plutôt que de les empiler.
6.1Cercle trigonométrique et radians
Le cercle trigonométrique a pour centre \(O\) et rayon 1. La mesure d'un angle en radians est la longueur de l'arc intercepté. Conversion : \(180^\circ=\pi\,\text{rad}\).
Repères à connaître : \(30^\circ=\frac\pi6\), \(45^\circ=\frac\pi4\), \(60^\circ=\frac\pi3\), \(90^\circ=\frac\pi2\), \(360^\circ=2\pi\). Pour convertir : \(x^\circ=\frac{\pi x}{180}\,\text{rad}\).
6.2Cosinus, sinus, tangente
Pour un angle \(x\) repéré par le point \(M\) du cercle : \(\cos x\) = abscisse de \(M\), \(\sin x\) = ordonnée de \(M\), et \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) (si \(\cos x\ne0\)).
| \(x\) | \(0\) | \(\frac\pi6\) | \(\frac\pi4\) | \(\frac\pi3\) | \(\frac\pi2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan x\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | — |
Pour \(\sin\) à \(0,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2\) : \(\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}\). Le \(\cos\) est la même liste à l'envers.
6.3Relations fondamentales
\[\cos^2x+\sin^2x=1\qquad 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}\qquad -1\le\cos x\le1,\ -1\le\sin x\le1\]
La première (Pythagore sur le cercle) sert à passer de \(\cos\) à \(\sin\) : si on connaît l'un et le signe de l'autre, on déduit le second.
6.4Angles associés
- \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\) (symétrie / axe \(Ox\)).
- \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\).
- \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\).
- \(\cos\!\big(\frac\pi2-x\big)=\sin x\), \(\sin\!\big(\frac\pi2-x\big)=\cos x\) (angles complémentaires).
6.5Addition et duplication
\[\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\qquad \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\]
\[\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\qquad \sin2a=2\sin a\cos a\]
Les formules de duplication donnent aussi la linéarisation : \(\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}\), \(\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}\).
6.6Équations trigonométriques
\[\cos x=\cos a\Leftrightarrow x=a+2k\pi\ \text{ ou }\ x=-a+2k\pi\]
\[\sin x=\sin a\Leftrightarrow x=a+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-a+2k\pi\]
\[\tan x=\tan a\Leftrightarrow x=a+k\pi\]
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Convertis \(135^\circ\) en radians.
Voir la correction
\(135^\circ=\frac{\pi\cdot135}{180}=\frac{3\pi}{4}\) rad.
Exercice 2 · ★
Donne \(\cos\frac{2\pi}{3}\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}\) à l'aide des angles associés.
Voir la correction
\(\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac\pi3\). Donc \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\cos\frac\pi3=-\frac12\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}\).
Exercice 3 · ★★
Sachant que \(\cos x=\frac35\) et \(x\in\,]0,\frac\pi2[\), calcule \(\sin x\) et \(\tan x\).
Voir la correction
\(\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\), et comme \(x\in\,]0,\frac\pi2[\), \(\sin x\gt0\) donc \(\sin x=\frac45\). Puis \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4/5}{3/5}=\frac43\).
Exercice 4 · ★★
Résous dans \(\mathbb R\) : \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Voir la correction
\(\frac{\sqrt2}{2}=\sin\frac\pi4\), donc \(x=\frac\pi4+2k\pi\) ou \(x=\pi-\frac\pi4+2k\pi=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Exercice 5 · ★★★
Calcule la valeur exacte de \(\cos\frac{\pi}{12}\) (on a \(\frac{\pi}{12}=\frac\pi3-\frac\pi4\)).
Voir la correction
\(\cos\!\big(\frac\pi3-\frac\pi4\big)=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\).
Exercice 6 · ★★★
Résous dans \([0,2\pi[\) l'équation \(2\cos^2x-\cos x-1=0\).
Voir la correction
Pose \(X=\cos x\) : \(2X^2-X-1=0\), discriminant \(\Delta=9\), \(X=1\) ou \(X=-\frac12\). \(\cos x=1\Rightarrow x=0\). \(\cos x=-\frac12=\cos\frac{2\pi}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}\) ou \(x=\frac{4\pi}{3}\). Solutions dans \([0,2\pi[\) : \(\big\{0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}\big\}\).
Les suites numériques
Une suite est une liste ordonnée de nombres indexés par les entiers. On apprend à la définir, à étudier sa monotonie et ses bornes, puis les deux modèles incontournables : arithmétique et géométrique.
7.1Définition d'une suite
Une suite \((u_n)\) est une fonction de \(\mathbb N\) (ou d'une partie de \(\mathbb N\)) vers \(\mathbb R\). À chaque entier \(n\) elle associe un réel \(u_n\), le terme de rang \(n\). \(u_0\) est le premier terme (parfois \(u_1\)).
7.2Modes de génération
- Explicite : \(u_n=f(n)\). Ex : \(u_n=n^2+1\). On obtient n'importe quel terme directement (\(u_{100}=10001\)).
- Par récurrence : on donne le premier terme et la relation \(u_{n+1}=f(u_n)\). Ex : \(u_0=2,\ u_{n+1}=3u_n-1\). Il faut calculer de proche en proche.
7.3Suites majorées, minorées, bornées
- Majorée : \(\exists M,\ \forall n,\ u_n\le M\).
- Minorée : \(\exists m,\ \forall n,\ u_n\ge m\).
- Bornée : majorée et minorée, c.-à-d. \(\exists M,\ \forall n,\ |u_n|\le M\).
7.4Monotonie
\((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout \(n\). Trois techniques :
- Signe de \(u_{n+1}-u_n\) (la plus universelle).
- Si \(u_n>0\) : comparer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1.
- Si \(u_n=f(n)\) : étudier les variations de \(f\) sur \([0,+\infty[\).
7.5Suites arithmétiques
Raison \(r\) : \(u_{n+1}=u_n+r\) (on ajoute toujours \(r\)). Pour reconnaître une suite arithmétique, on vérifie que \(u_{n+1}-u_n\) est constant.
- Terme général : \(u_n=u_0+nr\) (ou \(u_n=u_p+(n-p)r\)).
- Somme : \(S=u_0+\dots+u_n=(n+1)\cdot\dfrac{u_0+u_n}{2}\) (nombre de termes × moyenne des extrêmes).
- Variation : croissante si \(r>0\), décroissante si \(r<0\).
7.6Suites géométriques
Raison \(q\) : \(u_{n+1}=q\,u_n\) (on multiplie toujours par \(q\)). On reconnaît une suite géométrique si \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant.
- Terme général : \(u_n=u_0\,q^{n}\) (ou \(u_n=u_p\,q^{\,n-p}\)).
- Somme (\(q\ne1\)) : \(u_0+\dots+u_n=u_0\cdot\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\).
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
\(u_n=4n-1\). Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
Voir la correction
\(u_0=-1\), \(u_1=3\), \(u_5=19\).
Exercice 2 · ★
\((u_n)\) arithmétique, \(u_0=7\), \(r=2\). Donne \(u_n\) et \(u_{20}\).
Voir la correction
\(u_n=7+2n\) ; \(u_{20}=7+40=47\).
Exercice 3 · ★★
\((v_n)\) géométrique, \(v_0=3\), \(q=2\). Donne \(v_n\) et la somme \(v_0+v_1+\dots+v_5\).
Voir la correction
\(v_n=3\cdot2^n\). Somme \(=3\cdot\frac{1-2^6}{1-2}=3\cdot\frac{1-64}{-1}=3\cdot63=189\).
Exercice 4 · ★★
Étudie la monotonie de \(u_n=n^2-5n\).
Voir la correction
\(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-5(n+1)-(n^2-5n)=2n-4\). C'est \(\lt0\) pour \(n\le1\), \(=0\) pour \(n=2\), \(\gt0\) pour \(n\ge2\). La suite décroît puis croît : minimum vers \(n=2\,/\,3\).
Exercice 5 · ★★★
\((u_n)\) arithmétique avec \(u_3=11\) et \(u_8=26\). Trouve \(r\) et \(u_0\).
Voir la correction
\(u_8-u_3=(8-3)r=5r=26-11=15\Rightarrow r=3\). Puis \(u_0=u_3-3r=11-9=2\).
Exercice 6 · ★★★
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\). On pose \(v_n=u_n+3\). Montre que \((v_n)\) est géométrique, puis exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).
Voir la correction
\(v_{n+1}=u_{n+1}+3=2u_n+3+3=2u_n+6=2(u_n+3)=2v_n\). Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\), avec \(v_0=u_0+3=4\). Ainsi \(v_n=4\cdot2^n=2^{n+2}\), d'où \(u_n=v_n-3=2^{n+2}-3\).
La rotation dans le plan
La rotation fait « tourner » le plan autour d'un point fixe. C'est une isométrie : elle préserve distances, angles et formes. Très utile pour démontrer des égalités de longueurs dans les figures.
8.1Définition d'une rotation
La rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\), notée \(R(\Omega,\theta)\), envoie \(M\) sur \(M'\) tel que :
- \(\Omega M'=\Omega M\) (même distance au centre), et
- \((\widehat{\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}})=\theta\) (angle orienté).
Le centre est invariant : \(R(\Omega,\theta)(\Omega)=\Omega\).
\(\theta=0\) : identité. \(\theta=\pi\) : symétrie centrale de centre \(\Omega\). Une rotation se reconnaît à son couple (centre, angle).
8.2Propriétés (isométrie)
- Conserve les distances : \(A'=R(A)\), \(B'=R(B)\Rightarrow A'B'=AB\).
- Conserve les angles orientés, l'alignement, le parallélisme et le contact.
- Conserve les aires et la nature des figures.
- C'est une bijection du plan, de réciproque \(R(\Omega,-\theta)\).
8.3Image des figures usuelles
- Image d'une droite : une droite (formant l'angle \(\theta\) avec l'originale).
- Image d'un segment \([AB]\) : le segment \([A'B']\) avec \(A'B'=AB\).
- Image d'un cercle de centre \(O\), rayon \(r\) : le cercle de centre \(O'=R(O)\), même rayon \(r\).
8.4Rotation et configurations
La méthode type : on identifie une rotation qui envoie une partie de la figure sur une autre. Comme elle conserve les longueurs et les angles, on en déduit immédiatement des égalités de segments ou que deux triangles sont isométriques. Les angles \(\frac\pi3\) (triangle équilatéral) et \(\frac\pi2\) (carré) reviennent souvent.
Exercices — du plus simple au plus difficile
Exercice 1 · ★
Quelle transformation est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\pi\) ? Et celle d'angle \(0\) ?
Voir la correction
Angle \(\pi\) : symétrie centrale de centre \(\Omega\). Angle \(0\) : identité.
Exercice 2 · ★
Quelle est la réciproque de \(R(\Omega,\frac\pi4)\) ?
Voir la correction
\(R\big(\Omega,-\frac\pi4\big)\).
Exercice 3 · ★★
\(R\) est la rotation de centre \(\Omega\), angle \(\frac\pi2\). Quelle est l'image du cercle de centre \(O\) et de rayon 5 ?
Voir la correction
Le cercle de centre \(O'=R(O)\) et de même rayon 5 (la rotation conserve les distances).
Exercice 4 · ★★
\(M'=R(\Omega,\frac\pi3)(M)\) avec \(M\ne\Omega\). Quelle est la nature du triangle \(\Omega M M'\) ?
Voir la correction
\(\Omega M=\Omega M'\) (isocèle en \(\Omega\)) et l'angle au sommet \(\widehat{M\Omega M'}=\frac\pi3\). Un triangle isocèle avec un angle de \(60^\circ\) est équilatéral.
Exercice 5 · ★★★
On compose deux rotations de même centre \(\Omega\) : \(R(\Omega,\frac\pi3)\) suivie de \(R(\Omega,\frac\pi6)\). Quelle est la transformation obtenue ?
Voir la correction
Les angles s'additionnent : \(\frac\pi3+\frac\pi6=\frac\pi2\). On obtient \(R\big(\Omega,\frac\pi2\big)\), une rotation d'un quart de tour autour de \(\Omega\).
Exercice 6 · ★★★
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct de centre \(O\). On considère la rotation \(R(O,\frac{2\pi}{3})\). Détermine \(R(A)\), \(R(B)\), \(R(C)\) et explique pourquoi \(R\) laisse le triangle globalement invariant.
Voir la correction
Dans un triangle équilatéral de centre \(O\), les sommets sont à \(120^\circ=\frac{2\pi}{3}\) les uns des autres autour de \(O\), et tous à la même distance de \(O\). Donc \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=A\). L'ensemble des sommets est permuté circulairement : le triangle est envoyé sur lui-même (invariant globalement, même si chaque sommet bouge).